例3求 解当x>0时,有(nx) dx=In x+C(x>0) 当x<O时,有n(-x) 1 (-1) X X 又「dx=ln(-x)+ nx x InIx n(-x X< 所以∫x=+C(x≠0 前页后页结束
前页 后页 结束 例3 求 d . 1 x x , 1 ( 1) 1 ( ) 1 0 ln( ) x x x ' x x x ' − = − − = − 当 时，有 − = 解 d ln ( 0) 1 . 1 0 (ln ) = + = x x C x x x 当x 时，有 x ' 1 d ln ( 0). x x C x x = + 所以 − = ln( ) 0, ln 0, ln x x x x x 当 当 1 d ln( ) . x x C x = − + 又
3不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算 (1)Ⅱf(x)dx=f(x) 或d「∫(x)dx=∫(x)lx, (2)F'()dx=F()+C 或「dF(x)=F(x) 特别地,有∫dx=x+C 前页后页结束
前页 后页 结束 3 不定积分与微分的关系 微分运算与积分运算互为逆运算. (1) [ ( )d ] ( ) d ( )d ( )d f x x ' f x f x x f x x = = 或 ， 特别地，有 d . x x C = + (2) ( )d ( ) d ( ) ( ) F' x x F x C F x F x C = + = + 或
412不定积分的基本积分公式 (1)∫kdx=kx+C (2)∫xax=x2l +C(a≠-1) a+1 (3)∫ dx =In x +C. a dr=a n (5)∫edx=e+C (6)sin x dx=-coSx+C 前页后页结束
前页 后页 结束 (6) sin d cos x x x C = − + (1) d k x kx C = + 4.1.2不定积分的基本积分公式 d (3) ln | | . x x C x = + (5) d . e e x x x C = + 1 (2) d ( 1). 1 x x x C + = + − + (4) d . ln x x x C a a a = +
(7)cos x dx=sinx+C dx (8)2= cscr ax cotx+C sIn x dx secx dx= tanx+C cos (10)sec stan x dx=secx+C (11csc x cot x dx=-cscx+C (12) dx= arcsinx +C (13)∫ 14.2 dr=arctan+C. 前页后页结束
前页 后页 结束 2 2 d (8) csc d cot . sin x x x x C x = = − + (10) sec tan d sec . x x x x C = + (7) cos d sin . x x x C = + 2 2 d (9) sec d tan . cos x x x x C x = = + (11) csc cot d csc . x x x x C = − + 2 1 (12) d arcsin . 1 x x C x = + − 2 1 (13) d arctan . 1 x x C x = + +
例4计算下列积分 Dxdx.(2)dx.(3) dx 3 解(1)3xdx d X3 x3+ +1 4 dx +C=2x+ X (3)dx=∫x 2+1 X +O X 前页后页结束
前页 后页 结束 例4 计算下列积分 d . 1 d . (3) 1 (1) d . (2) 2 3 x x x x x x . 4 3 1 3 1 1 3 4 1 3 1 x + C = x + C + = + x x x d x d 1 (2) 2 1 − = 解 (1) xdx x3 dx 1 3 = x x x x d d 1 (3) 2 2 − = 2 . 2 1 1 1 2 1 1 x + C = x + C − = − . 1 2 1 1 2 1 C x x + C = − + − + = − +