《信号与系统》课程电子教案（PPT课件，西电版）第3章 连续信号与系统的频域分析

说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合，2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有： = 4 →直流分量cosQ2t,sin Q2t→基波分量22cos nQt,sin nQt →n次谐波分量该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。3。αn,A,为n的偶函数，br,β,为n的奇函数。an =α-n, A, = An;bn = -b-n,Pn = -P-n4.当该周期函数为偶函数时，bn=0，展开式只含直流及 cos nQt分量当该周期函数为奇函数时，ao=an=0，展开式只会含 sin nQt分量

cosnt,sin nt →n次谐波分量 , ; , . , , n n n n n n n n n n n n a a A A b b a A n b n = − = − = − −  = −− 为 的偶函数，  为 的奇函数。 = →直流分量 t t → 基波分量 a A cos ,sin 2 2 0 0 该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。 3。 4.当该周期函数为偶函数时，bn＝0，展开式只含直 流及 cosnt分量 说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。 2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的 正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有： 当该周期函数为奇函数时，a0＝an＝0，展开式只 会含 sin nt分量

3.2.2指数形式傅立叶级数分解1.复指数函数集2元r () = (en2Tn=±0.±1.±22该函数集在（to，to+T）上为周期信号的完备正交函数集。2.正交展开：f (t) =Zcig,(t) = F,ejinor将任一周期信号展开为n=-00Cto+T0+Tfr(t)g, (t)dt-(t)e-jns2tdtCo+TS21Fqf(t)2rto+T0+T Jto[g,(1) dtmdt8to+1ejnQZfr(t)e-jno" dtFF,=%:. f-(t) =nn=-00称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数

f t e dt T f t F e F t T t j n t n T n j n t T  n  + −   =−   = = 0 0 ( ) 1 ( ) j n t n T i i n f t c g t F e   =− ( ) =  ( ) =       + −  +  + −  + + = = = t T t j n t t T T t j n t t T t j n t T t T t i t T t T i n f t e dt T e dt f t e dt g t dt f t g t dt F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * 3.2.2 指数形式傅立叶级数分解 1.复指数函数集 ( )    = =   =  2 f t e n 0, 1, 2. T j n t T 该函数集在（t0，t0+T）上为周期信号的完备正交函数集。 2.正交展开： 将任一周期信号展开为 称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数

3.2.3 傅立叶系数关系比较两种展开式，得：A =α = 2F令A=AnejonAn=2|Fnl)统一表示为A=2F考虑到,=|F,lejonn=Pn例题：周期性矩形脉冲的傅立叶系数计算。P948结论：aoZ(a, cos n2t + b, in n2t)2n=l8AoejnQM>FAcos(nQt + Pn) =十22n=ln=-808Z 2|Fncos(nQt +Pn)其中: F+n=1r1o+T2fr (t)cosn2tdtn=0,1,2..d1rto+Tfr (t)e-jin" dtFnrtO+T2TJton=1,2...bfr (t)sinnQtdtY7to

A0 = a0 = 2F0 j n t n n n n n A n t F e A   =−  = = 2 + cos(  + ) =  1 0  f t e dt T F t T t j n t n  T + −  = 0 0 ( ) 1   = = +  +  1 0 ( cos sin ) 2 ( ) n T n n a n t b n t a f t n 2 2 n n A F n j j n n n n n n n A A e F F e A F = = = =   统一表示为 令 ＝ 考 虑 到     3.2.3 傅立叶系数关系 比较两种展开式，得： 例题：周期性矩形脉冲的傅立叶系数计算。P94 结论： 2 cos( ) 1 0 n n n = F + F nt +  = 0,1,2. 1,2. ( )cos 2 ( )sin 2 0 0 0 0 = = =   =        + + n n f t n tdt T a f t n tdt T b t T t n T t T t n T 其中：

例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数f:(t)T=2元/ 2周期：T幅度：E宽度：TL2-T2解：因为f(t)为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量27-212EtEt2ao12EdtE.cosnQtdt :NJo2T2T2TT2Z4E2 22E.cos nQtdtcos nQtdta之TJoT24E4E1nQtCsin nQtsirCTT2nQnQ4T2EnQtnQtsin(sin(T22n.2元n元

E ) 2 sin( 2 ) 2 sin( 2 4 ) 2 sin( 4 sin 4 1 2 0        =   =      =   =  n n n E n T T n n E T n t T n E 例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数。 T T t 2 0 2   − − + f (t) T 周期：T T＝2π/Ω 幅度：E 宽度：τ =    =   − 2 0 2 2 cos 4 cos 2    n tdt T E E n tdt T an T E E T Edt T E n tdt T a     =     = =  =   − 2 2 2 cos 2 2 1 2 2 0 2 2 0 解：因为fT(t)为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量

72nQt7-22-22EE1einQFEdtNnTT2jTnQjnQt-12nQtnQt2EEtEtsin(sin(22TnQtTTnQ22sin x其中：“取样”函如下图图称为Sa(x) =x数1Sa (z)-3元2元3元002元lim Sa(x) = 1其性质：①偶函数②Sa(k元)=0, k = ±1,±2..x-→>00元3Sa(x)dx = Sa(x)= 元Sa(x)dx =2

lim ( ) 1 ( ) 0, 1, 2. 0 = = =   → Sa x Sa k k x  2 ( ) ( ) ( ) 0 0  =  = =      − − Sa x Sa x dx Sa x dx ) 2 ( 2 sin( ) sin( ) ) 2 ( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2              =  =  =  −   = −  =  =     − −  − −     n Sa T E T E T n E j e e Tn E e T j n t E E e dt T F n n n j j j n t j n t n n n x x Sa x sin 其中： ( ) = 如下图 称为“取样”函 数 其性质：① 偶函数 ② ③