2信号的正交分解(g(0))= (gi(t), g2(t).... g~(t)*正交函数集：设一函数集t E(t1,t2) 若f" g(0)g,(0)dt=(,ji, j =1,2,3...N则称g(t)为正交函数集，tE(ti,t2)当K=1时，称为归一化正交函数集。*信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f(t），即：c,g,(t)f(t) ~ Cigi(t)+C2g2(t)+... +Cng~(t) =i=1这种近似所产生的平方误差为:E。『"(t)-≥cig,(t)di可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数C为此时的平方误差为下式所示：("2 f(t)g,*(t)dt" If(t)[ dt -" [cg,(t)] dtE。='" Ig,(t)° dt
2 信号的正交分解 *正交函数集：设一函数集 ( ) ( ), ( ),., ( ), 1 2 g t g t g t g t = N ( , ) 1 2 t t t g t g t dt i j N i j j k i j t t i ( ) ( ) 0 i , 1,2,3 2 * 1 = = 若 = 当Ki=1时，称为归一化正交函数集。 *信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f (t)，即： g(t) ( , ) 1 2 则称 为正交函数集，t t t ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) 1 1 1 2 2 f t c g t c g t c g t c g t i N i N N i = + + + = 这种近似所产生的平方误差为： E f t c g t dt t t N i e i i 2 1 2 1 ( ) ( ) = − = 可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数Cr为 = 2 1 2 1 2 * ( ) ( ) ( ) t t r t t r r g t dt f t g t dt c 此时的平方误差为下式所示： E f t dt c g t dt N i t t i i t t e 2 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) = = −
如果对于某一类(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零则称正交函数集对于（(t)这一类函数是完备的正交函数集。一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。3两个完备的正交函数集基本周期：T=2n/Q,正交（1）三角函数集区间（to，to+T）。是完备的cos nQt,sin nQttn=0,1,2...正交函数集。mtnrto+T1C正交性：cos n2t · cos m2tdt = (/2m=nJtomtnrto+T10sin nQ2t · sin m2tdt = (%/2m=ntomtn-to+TSocos nQt ·sin nQtdt =0m=nto完备性：无穷函数集
如果对于某一类f(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零， 则称正交函数集对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。 一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。 cos nt,sin nt n=0,1,2. 3 两个完备的正交函数集 （1）三角函数集 基本周期：T=2л/Ω,正交 区间（t0 ，t0+T）。是完备的 正交函数集。 m n m n T t T t n t m tdt = + = 0 / 2 cos cos 0 0 正交性： m n m n T t T t n t m tdt = + = 0 / 2 sin sin 0 0 m n m n t T t n t n tdt = + = 0 0 cos sin 0 0 完备性：无穷函数集
(2)指数函数集：基本周期：T=2n/QjnQt正交区间（to，to+T）n=0,±1,±2..是完备的正交函数集。mtnCo+Tto+COej(n-m)t dt =正交性m=nJto1O完备性：无穷函数集
=0,1,2. n j n t e 基本周期：T=2л/Ω, 正交区间（t0 ，t0+T）。 是完备的正交函数集。 ( ) ( ) m n m n T t T t j m t j n m t t T t j n t e e dt e dt = + − + = = 0 * 0 0 0 0 正交性 完备性：无穷函数集 (2)指数函数集：
3.2 周期信号的传立叶级数分解3.2.1 三角形式傅立叶级数分解1.三角函数集2元ff(@)= (cos nQt, sin nQ2tQ对周期信号，该函数在（to，to+T）上为完备的正交函数集。2.正交展开将任一周期函数信号展开为：00f (t) = Zcig;(t) =Z(a, cos n2t+ b, in n2t) = ao + E(a, cos n2t+b, sin n2t)n=0n=l该函数系数rto+Tf-(t)cos* nQtdtn=0fr(t)dta.r+Tto+1fr(t)cosn2tdt n = 1,2.cos nQt dt
3.2 周期信号的傅立叶级数分解 3.2.1 三角形式傅立叶级数分解 1.三角函数集 ( ) = = = 2 cos ,sin , f T t n t n t n 0,1,2. T 对周期信号，该函数在（t0，t0+T）上为完备的正交函数集。 2.正交展开 将任一周期函数信号展开为： ( ) ( ) ( cos sin ) ( cos sin ) 1 0 0 f t c g t a n t b n t a a n t b n t n n n n n T = i i = n + = + + = = 该函数系数 1,2. 0 cos ( ) cos 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( )cos 2 2 * = = = = + + + + n n n t dt f t n tdt a t T t T t T t T f t d t T f t n tdt T t T t t T t T n
Cto+Tf(t)sin* nQtdt2Cto+Tf(t)sin nQ2tdt5n =1,2..Ptot7TJt[sin nQ2t dt将ao包含在an中则有：8080doZ(ZA, cos(n2t + p,)(a, cosn2t + b, sin n2t)f.(t)22n=1n=l2rto+T其中an=f-(t)cos nQtdtn = 0,1,2.T2Cto+Tf-(t)sin nQtdtn = 1,2..hnT JtobAn =a?+bA = αoPn =-arctg10
( )sin 1,2. 2 sin ( )sin 0 0 0 0 0 0 2 * = = = + + + f t n tdt n T n t dt f t n tdt b t T t t T T t t T t T n cos( ) 2 ( cos sin ) 2 ( ) 1 1 0 0 n n n n T n n A n t A a n t b n t a f t = + + = + + = = ( ) cos 0,1,2. 2 0 0 = = + f t n tdt n T a t T t 其中 n T 将a0包含在an中则有： + = = t T t n T f t n tdt n T b 0 0 ( )sin 1,2. 2 n n n n n n a b A = a A = a + b = −arctg 2 2 0 0