E)-FISa o)=f产0t=h=T 根据式(2-4)，有 E=Eft=T【a(gTer =T[[SalT'd=T 由此得 [Sa(fT)'df =1/T 【例2-3】求随机相位正弦波：(t)=Cos(“.t+中)的自相关函数、功率谱密度和功率。 =Ecos(u.t+中)[cos(o:t+中)cosa:t-sin(o:t+中)sinwet] =cos(w.t)Ecos2(w.t+)-sin(w.I)E [cos(w.t+)sin(w.t+)] oas(u.te+cos2a1+vl -sin(sin) sinosin. P(o)-R()d-+] s上po)aw-月 小结由例2-1和例2-3可知，确知信号cost和随相信号cos(:t+中)的相关 函数、 功率谱密度是相同的 【例2-4】求乘积信号z(t)=x()y()的自相关函数和功率谱密度。已知x()和y() 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为R(1)、R,(t)、 P,(o)、P(o)。 解 R(r)=E「z(t)·z(t+r)1 =E[x()·y()·x(t+t)·y(t+)] =E[x(t)·x(t+T)·y()·y(t+T)门 因为x(t)与y()是统计独立的平稳随机过程，故x(t)·x(t+t)与y(t)·y(t+t)也是统计 独立的，所以 R(t)=E[x(t)·x(t+t)]·E[y(t)·y(t+t)] 6
6 j T e T E T Sa 2 2 2 ) ] 2 ( ) [ ( − = E f t dt dt T T T = = = − − / 2 / 2 2 () ( ) 根据式（2-4），有 E E f df T Sa fT e df j fT 2 2 4 ( ) [ ( )] − − − = = = T Sa fT df = T − 2 2 [ ( )] 由此得 [Sa( fT)] df 1/T 2 = − 【例 2-3】 求随机相位正弦波ξ(t)=cos(ωct+φ)的自相关函数、功率谱密度和功率。 式中，ωc 是常数，φ是在区间(0，2π)上均匀分布的随机变量。 解 R(τ)＝E［cos(ωct+φ)cos(ωct+ωcτ+φ)］ =Ecos(ωct+φ)［cos(ωct+φ)cosωcτ-sin(ωct+φ)sinωcτ］ =cos(ωcτ)Ecos2 (ωct+φ)-sin(ωcτ)E［cos(ωct+φ)sin(ωct+φ)］ =cos(ωcτ)E [1+ cos 2( + )] 2 1 c t -sin(ωcτ)E 2 1 sin2(ωct+φ) 2 1 =cosωcτ+ 2 1 cosωcτ 2 0 cos2(ωct+φ) d 2 1 - 2 1 sinωcτ 2 0 sin(2ωct+φ) d 2 1 = 2 1 cosωcτ P(ω)= R( ) e -jωτdτ= 2 ［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］ S= 2 1 − P(ω)dω= 2 1 小结 由例 2-1 和例 2-3 可知，确知信号 cosωct 和随相信号 cos(ωct+φ)的相关 函数、功率谱密度是相同的。 【例 2-4】 求乘积信号 z(t)=x(t)y(t)的自相关函数和功率谱密度。已知 x(t)和 y(t) 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为 Rx(τ)、Ry(τ)、 Px(ω)、Py(ω)。 解 Rz(τ)=E［z(t)·z(t+τ)］ =E［x(t)·y(t)·x(t+τ)·y(t+τ)］ =E［x(t)·x(t+τ)·y(t)·y(t+τ)］ 因为 x(t)与 y(t)是统计独立的平稳随机过程，故 x(t)·x(t+τ)与 y(t)·y(t+τ)也是统计 独立的，所以 Rz(τ)＝E［x(t)·x(t+τ)］·E［y(t)·y(t+τ)］
=R,(T)·R,() 根据傅氏变换的卷积定理，可得 R.(o)=[P.(u)柳，()] 2π 小结由此例愿可得到一个重要结论：两个独立的平稳随机过程，其乘积的自相关函数等 于它们各自的自相关函数的乘积，其乘积的功率谱密度函数等于各自的功幸谱密度函数的卷 积。可将此结论称为随机信号的卷积定理。在傅氏变换的卷积定理中，并不要求两个时域相 乘的确知信号是独立的 【例2-5】设随机变量中在(0,2)内均匀分布，求Asi中的数学期望和方差，其中A 为常数 a=E(asin中)=(asin中)· A.1 oe[siro]=e[-0-es2wj]- 【例2-6】设z(t)=%coso,t-xasinwot是一随机过程，若x和是彼此独立且具有 均值为0、方差为。的正态随机变量，试求： (1)E[z()]、E[z(t)]: (2)z(t)的一维概率密度函数f(2: (3)B(t,.t)与R(t.t2)。 思路和x是随机变量，而cost、sin,t是随时间变化的。不同取样时刻，co ut、sin“t的值不同，因而z(t)在不同的取样时刻是不同的随机变量，所以z(t)是 随机过程。但每一时刻cos“t、sinwot的值是一个常数，故在对z(t)作统计处理时可认 为coswot、sinot为常数。 (1)E [z(t)]=E(xIcoswot-x'sinwot) oswt.E(x)-sinwt.E(x)=0 E[z,(t)]=E(x,c0 Dot-x:@ot+) ost·E()-sin'wot·E(xxa)+sin2wot·E(x) 因为x1和x2独立，所以 E(xx2)=E(x)·E(x2) 又因为E(x)=E(x)=0,E(x)=E(x)=o,故 E [z'(t)]=o'(cos'wot+sin'wot)=o* (②)因为x、x都是高斯分布，z()是x和的线性组合，所以z()也服从高斯分布 其一维概率密度函数为 = f()= 2m5p(-25》 (3)R(t,t)=E[z(t)·z(ta)] =E [(xcost-xsint).(xicostz-xsinta)] =E(xcos weticoswota+xsinwotlsinwota -X1X2c0su。t1 sinwat.2-x1x2cosu。t2 sinwot:) 1
7 =Rx(τ)·Ry(τ) 根据傅氏变换的卷积定理，可得 Pz(ω)= 2 1 ［Px(ω)*Py(ω)］ 小结由此例题可得到一个重要结论：两个独立的平稳随机过程，其乘积的自相关函数等 于它们各自的自相关函数的乘积，其乘积的功率谱密度函数等于各自的功率谱密度函数的卷 积。可将此结论称为随机信号的卷积定理。在傅氏变换的卷积定理中，并不要求两个时域相 乘的确知信号是独立的。 【例 2-5】 设随机变量φ在(0,2π)内均匀分布，求 Asinφ的数学期望和方差，其中 A 为常数。 解 a=E(Asinφ)= 2 0 (Asinφ)· 2 1 dφ =-A· 2 1 ·cosφ 0 2 =0 σ2 =E［A 2 sin2φ］=E 2 2 2 1 (1 cos 2 ) 2 1 A = A − 【例 2-6】 设 z(t)=x1cosω0t-x2sinω0t 是一随机过程，若 x1 和 x2 是彼此独立且具有 均值为 0、方差为σ2 的正态随机变量，试求： (1) E［z(t)］、 E［z 2 (t)］; (2) z(t)的一维概率密度函数 f(z)； (3) B(t1,t2)与 R(t1, t2)。 思路 x1 和 x2 是随机变量，而 cosω0t、sinω0t 是随时间变化的。不同取样时刻，cos ω0t、sinω0t 的值不同，因而 z(t)在不同的取样时刻是不同的随机变量，所以 z(t)是一个 随机过程。但每一时刻 cosω0t、sinω0t 的值是一个常数，故在对 z(t)作统计处理时可认 为 cosω0t、sinω0t 为常数。 解 (1) E［z(t)］=E(x1cosω0t-x 2 sinω0t) =cosω0t·E(x1)-sinω0t·E(x2)=0 E［z2(t)］=E(x2 1cos 2ω0t-x1x2sin2ω0t+x2 2sin2ω0t) =cos 2ω0t·E(x2 1)-sin2ω0t·E(x1x2)+sin2ω0t·E(x2 2) 因为 x1 和 x2 独立，所以 E(x1x2)=E(x1)·E(x2) 又因为 E(x1)=E(x2)=0，E(x2 1)=E(x2 2)=σ 2，故 E［z 2 (t)］=σ 2 (cos2ω0t+sin2ω0t)=σ 2 (2) 因为 x1、x2 都是高斯分布，z(t)是 x1 和 x2 的线性组合，所以 z(t)也服从高斯分布， 其一维概率密度函数为 ) 2 exp( 2 1 ( ) 2 2 z f z = − (3) R(t1,t2)=E［z(t1)·z(t2)］ =E［(x1cosω0t1-x2sinω0t1)·(x1cosω0t2-x2sinω0t2)］ =E(x2 1cosω0t1cosω0t2+x2 2sinω0t1sinω0t2 -x1x2cosω0t1sinω0t2-x1x2cosω0t2sinω0t1)
=a(coswot coswot:+sin@tisintz) B(t,ta)=R(ti,ta)-E [z(t)].E [z(ta)]=o'cos 【例2-7】若随机过程z(t)=m(t)cos(oot+中)，其中，m(t)是广义平稳随机过程，且 自相关函数R(T)为 1+t,.-1<t<0 R()1-t0≤t<1 0.,其它 中是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此独立。 (1)证明z(t)是广义平稳的： (2)绘出自相关函数R(t)的波形 ()求功率谱密度.()及功率S 解()若E[z()] 常数，R(t,t+t)=R(t),则z(t)为广义平稳的 E[z(t)]=E[m(t)·cos(o。t+φ)] =E[m(t)]·E[cos(wt+中)][m(t)与Φ独立] =E[m(t)]·[2(cos wtcos中-sinwtsin中) =a·0=0 R(t,t)=E[z(t)·z(t)] =E[m(ti)·cos(ut+中)·m(t)·cos(at2+中)] =E[m(t1)·m(t2)]·E[cos(u0t1+Φ)cos(a0t2+Φ)] 5os,+)+2+cosa,6-4) R()·aos@,6+4)+21+osa,4-5川 -()( 可见，z(t)的均值与t无关，自相关函数只与时间间隔ī有关，所以z(t)是广义平稳 的。 (2)R.()=-R-(t)cos.t 其波形如图2-7所示，图中设f。=3。 3)因为 F [cosoT]=[8(0+00)+8(0- )1 F[R(r)]=5a(2 图2-7例2-7图 2‘2玩F[cosu,r]帮[R(t)门 (u)= 1 所以
8 =σ 2 (cosω0t1cosω0t2+sinω0t1sinω0t2) =σ 2 cosω0τ B(t1,t2)=R(t1，t2)-E［z(t1)］·E［z(t2)］=σ 2 cosω0τ 【例 2-7】 若随机过程 z(t)=m(t)cos(ω0t+φ)，其中，m(t)是广义平稳随机过程，且 自相关函数 Rm(τ)为 Rm(τ)= − + − 其它 0, 1 , 0 1 1 , 1 0 φ是服从均匀分布的随机变量，它与 m(t)彼此独立。 (1) 证明 z(t)是广义平稳的； (2) 绘出自相关函数 Rz(τ)的波形； (3) 求功率谱密度 Pz(ω)及功率 S。 解 (1) 若 E［z(t)］=常数，Rz(t1,t1+τ)=R(τ)，则 z(t)为广义平稳的。 E［z(t)］=E［m(t)·cos(ω0t+φ)］ =E［m(t)］·E［cos(ω0t+φ)］［m(t)与φ独立］ =E［m(t)］· 2 0 (cosω0tcosφ-sinω0tsinφ) 2 1 dφ =a·0=0 Rz(t1,t2)=E［z(t1)·z(t2)］ =E［m(t1)·cos(ω0t1+φ)·m(t2)·cos(ω0t2+φ)］ =E［m(t1)·m(t2)］·E［cos(ω0t1+φ)cos(ω0t2+φ)］ =Rm(τ)·E + + + cos ( − ) 2 1 cos[ ( ) 2 ] 2 1 0 1 2 0 1 2 t t t t =Rm(τ)· + + + cos ( − )] 2 1 cos[ ( ) 2 ] [ 2 1 [ 0 1 2 0 1 2 E t t E t t =Rm(τ)· + cos ( − ) 2 1 0 0 1 2 t t = 2 1 cosω0τ·Rm(τ) 可见，z(t)的均值与 t 无关，自相关函数只与时间间隔τ有关，所以 z(t)是广义平稳 的。 (2) Rz(τ)= 2 1 Rm(τ)cosω0τ 其波形如图 2-7 所示，图中设 f0=3。 (3) 因为 F［cosω0τ］=π［δ(ω+ω0)+δ(ω-ω 0)］ F［Rm(τ)］=Sa2 2 w 图 2-7 例 2-7 图 所以 Pz(ω)＝ 2 1 · 2 1 ·F［cosω0τ］*F［Rm(τ)］