代入(8.26)第二式，得 -增-o (8.28) 4Bre 积分得到山，= E2-f0d0+),其中和为r的在意函数. 将4，、u2代入(8.26)第三式，有 fo+)+f0a0-@-0 (8.29) 或 f(0)+f(0)de=f(r)-f(r) (8.30) 上式左边为B的函数，右边为”的函数，要使其成立只有两边都等于同一常数F,于是有 f(r)-rf(r)=F (8.31) f'()+Jf0)d0=F 由(8.31)第一式可解出 ∫=+F(齐次方程的通解加上非齐次方程的特解) (8.32) 对(8.31)第二式求导使其变为微分方程 f"(0)+f(0)=0 (8.33) 解出f() f(0)=I cos0+Ksin0 (8.34) 由(8.31)第二式，得 [f(0)de=F-f'(0)=F+Isin0-K cos0 (8.35) 最后得到平面轴对称问题的位移分量为 4=-(1+v)2+21-v)）Brnr-)+0-3)B1nr+21-v)C +Icos0+Ksin0 (8.36) _4Bre+Hr-Isin0+K cos0 g E 其中A,B,C,D,H,L,K是任意常数，上述结果既适用于平面应力问题，又适用于平面应变 问题。 8.3圆环或圆简受均布压力 设圆环或圆筒的内半径为a,外半径为b,内压为q。,外压为q。,如果是圆环属于平 面应力问题，圆筒则属于平面应变问题。 边界条件：t0la=0,t0lb=0,o,la=-9a,0,-=-96。 6
6 代入(8.26)第二式，得 4 ( ) u Br f E θ θ θ ∂ = − ∂ (8.28) 积分得到 1 4 () () Br u f d fr E θ θ =− + θ θ ∫ ，其中 1f ( )r 为 r 的任意函数。 将 r u 、uθ 代入(8.26)第三式，有 1 1 1 1 ( ) () () () 0 f r f fr f d r rr ′ ′ θ θθ ++ − = ∫ (8.29) 或 1 1 f () () () () θ θθ + =− f d f r rf r′ ∫ (8.30) 上式左边为θ 的函数，右边为 r 的函数，要使其成立只有两边都等于同一常数 F ，于是有 1 1 () () () () f r rf r F f θ θθ fd F − = ′ ′ + = ∫ (8.31) 由(8.31)第一式可解出 1f = + Hr F (齐次方程的通解加上非齐次方程的特解) (8.32) 对(8.31)第二式求导使其变为微分方程 f f ′′() () 0 θ + θ = (8.33) 解出 f ( ) θ fI K ( ) cos sin θ = θ θ + (8.34) 由(8.31)第二式，得 f d F f FI K ( ) ( ) sin cos θ θ θ θθ =− =+ − ′ ∫ (8.35) 最后得到平面轴对称问题的位移分量为 1 [ (1 ) 2(1 ) (ln 1) (1 3 ) ln 2(1 ) ] cos sin 4 sin cos r A u Br r B r Cr E r I K Br u Hr I K E θ νν ν ν θ θ θ θ θ = −+ + − − + − + − + + = +− + (8.36) 其中 A, , , , ,, BCDH I K 是任意常数，上述结果既适用于平面应力问题，又适用于平面应变 问题。 8.3 圆环或圆筒受均布压力 设圆环或圆筒的内半径为 a ，外半径为b ，内压为 a q ，外压为 a q ，如果是圆环属于平 面应力问题，圆筒则属于平面应变问题。 边界条件： 0, 0, , r r r ar b ra rb ra rb q q θ θ τ τσ σ = == = = = =− =−
/1m b 图8.3 该问题属于轴对称问题，可以利用上节的结果 A 0,=京+B1+2In）+2C 0s、A +B(3+2Inr)+2C (8.37 To=0 代入边界条件 A +B(1+2Ina)+2C=-qa (8.38) +B1+2nb)+2C=-96 两个方程不能确定三个常数，圆环属于多连通区域，必须利用位移单值性条件。 注意到ug= 4Br0 -+Hr-Isin0+Kcos0→B=0。则可解出A,B E A=a(g。-9) b2-a2 C=9a-9b2 (9.39) 2(b2-a2) 应力分量为 >
7 图 8.3 该问题属于轴对称问题，可以利用上节的结果 2 2 (1 2ln ) 2 (3 2ln ) 2 0 r r A B r C r A B r C r θ θ σ σ τ ⎧ =+ + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ =− + + + ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ (8.37) 代入边界条件 2 2 (1 2ln ) 2 (1 2ln ) 2 a b A B aCq a A B bCq b ⎧ + + + =− ⎪⎪ ⎨ ⎪ + + + =− ⎪⎩ (8.38) 两个方程不能确定三个常数，圆环属于多连通区域，必须利用位移单值性条件。 注意到 4 sin cos 0 Br u Hr I K B E θ θ = + − + ⇒= θ θ 。则可解出 A B, 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) b a a b ab q q A b a qa qb C b a − = − − = − (9.39) 应力分量为