在任意点处的一种核密度估计头n1一iZKf（）hnh1这里K（）称为核函数(kernelfunction），它通常满足对称性及K（a）da=1.可以看出，核函数是一种权函数，该估计利用数据点c到的距离（α一）来决定在估计点c的密度时所起的作用如果核函数取标准正态密度函数（），则离点越近的样本点，加的权也越大.上面积分等于1的条件是使得f（）是一个积分为1的密度.表示式中的h称为带宽（bandwidth）.一般来说，带宽取得越大，估计的密度函数就越平滑，但偏差可能会较大，如果选的h太小，估计的密度曲线和样本拟合得较好，但可能很不光滑，一般选择的原则为使得均方误差最小为宜，有许多方法选择h，比如交叉验证法（cross-validation），直接插入法（directplug-in），在各个局部取不同的带宽，或者估计出一个光滑的带宽函数h（）等等
图9.3为对老忠实温泉的间隔时间所作的核估计，其中h取了四个不同的值：h=0.3.0.5.1和2.从图上可以清楚地看出带宽对图形的影响.这里的核函数为标准正态密度函数h=0.3h0.590POT20000506070808090109050607010040h=1h=270.00020o10'00000℃904050607080901004050607080100图9.3用不同带宽对“老忠实”温泉的喷发间隔时间的核密度估计
下表列出了常用的核函数核函数名称核函数K(u)均匀(Uniform)(lul≤1)三角(Triangle)(1 - [ul)I(lul ≤1)(1 -)I(lul ≤1)Epanechikov四次(Quartic)(1-)I(lu≤1)三权(Triweight)(1 -)3I(lul≤1)高斯(Gauss) exp (-u)4余弦(Cosinus)u)I(lul≤1)cOS-
局部多项式密度估计局部多项式密度估计是自前最流行的，效果很好的密度估计方法，它对每个点拟合一个局部多项式来估计在该点的密度图9.4为对“老忠实”温泉的间隔时间所作的核估计（实线）和局部多项式估计（虚线）从图上可以看出核密度估计和局部多项式估计在边界上的区别：与核方法相比较，局部多项式方法在边界上的估计结果较好
to060'0sue0010'000'0406080100waitingtime (minute)图9.4对“老忠实”温泉的间隔时间所作的核估计（实线）和局部多项式估计（虚线）.注意两条线在两端的区别