全国大学生《数学建模》竞赛：2000B

钢管订购和运输策昭 545 们在减少300个单位,增加600个单位的范围内讨论,这意味着我们不考虑钢厂破产或者超 大规模扩大生产的情况 3.在具体铺设每一公里时,我们只把钢管运到每一公里开始的地方,沿运送方向向前 铺,然后往前铺设的运送费用我们不予考虑 3模型建立 1.问题1的模型 (1)决策变量 我们首先引入一组0-1变量x1,x2,…,x7,其中x1表示钢厂S1是否承担制造这种钢 管.如果钢厂S1承担制造这种钢管则x1=1,否则x;=0. 所有的钢管,都是先运到A1,A2,…,A15后,或者转运到其它地方,或者在包含A的 个区段内铺设我们设从钢厂S运抵A且在包含A的一个区段内铺设的钢管数量为y,这 里i=1,2 我们用变量x来表示从所有的钢厂运到A,的钢管总量中沿A→A1铺设的部分,这 里j=1,2,…,14 这样,我们一共引入了三组决策变量:x1(i=1,2,…,7);y(i=1,2,…,7;j=1,2 ,15);x(k=1,2,…,14) (2)目标函数 问题1的目的是寻求好的订购和运输方案,使得总费用最小.事实上,总费用可以分成 两部分.第一部分包括钢管的订购费用和钢管从钢厂运抵A1,A2,…,A15所需的运费;我 们用c来表示单位钢管从钢厂S;运抵A1所需的最小订购和运输费用,则第一部分费用为 第二部分费用是指钢管运抵A1,A2,…,A15后,再运到具体铺设地点的费用由假设3,从 A到A+1区段部分所需的费用为 (-1)+(叫+1-x)(,1-=1-1) 其中四,表示A到A+铺设管道的长度.这样,我们不难得知第二部分费用为 2=>[(5-15+(,5)(m--1) (3)约束条件 首先,由于一个钢厂如果承担制造这种钢管,则至少需要生产500个单位,而钢厂S在 指定期限内能生产钢管的最大数量为s个单位.所以,我们得到以下一组约束条件 500x;≤∑y≤s,i=1,2,…,7 由于订购的所有钢管总量等于A1→A2→…→A15的里程数那么 ∑ 5171 很显然我们可以设x≤,+1·因为如果x>,+1,则相当于有x,-v,+数量的

46 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 钢管是从A,直接运送到A+1后再送到具体铺设地点 抵A的钢管总数量等于向包含A的区段铺设的里程数,那么 y三 2 并且,我们还有∑m1=x1和∑y15=11=x (4)数学模型 通过上面的分析,我们得到问题1的如下模型 %%+∑[1(3-1)+(可,)(,--1) 500x;≤∑y≤sx j=1,2,,7 5171 (A)st 0≤x≤wy, 14 x;=0,1 i=1,2, y≥0, 1,2,…,7;j=1,2,…,15 可以看出,这是一个非线性规划问题 2.问题2的模型 为了分析钢厂钢管销价的变化对购运计划和总费用的影响,对于每个钢厂,利用模型 (A),我们分别算出它的钢管销价发生一系列的变化后,所得到的总费用和购运计划;并根 据所得到的数据,利用 Matlab软件拟合出销价变化和总费用变化量关系的曲线,对所得到 的曲线进行分析和对比,找到钢管销价变化对购运计划和总费用影响最大的钢厂.类似地 我们用同样的方法,对钢厂产量上限发生变化对购运计划和总费用的影响进行了分析 3.问题3的模型 如果要铺设的管道不是一条线,而是一个树形图,我们首先给树形图的每条边指定一 个方向,使得所得到的有向树有一个度数为1的顶点的入度为0,而其它每个顶点的入度均 为1.与问题1一样我们可以引入0-1变量x(i=1,2,…,7)以及变量y(i=1,2,… 7,j=1,2,…,21),它们的含义与问题1中的定义完全一致.类似于问题1,对于有向树的 有向边(A,A),我们用x表示运抵A,的所有钢管沿A1→A3铺设的里程数.数学模型为 )(

钢管订购和运输策路 547 500x;≤∑y≤sx j=1,2,…,7 ∑∑x=59 当d(A)>1时,∑=∑4+(-动),其中(A,A)∈E(T) (B)st 当d'(A)=0时,∑=,-,其中(A,A)∈E(T) 当d(4)=0时,∑=5,其中(A1,A)∈E(T) 0≤≤w,, (A1,A)∈E(T) 1,2,…,7 ≥0, i=1,2,…,7;j=1,2,…,21 参考文献 [1]甘应爱,田丰等著,运筹学,清华大学出版社,北京,1994 [2]袁亚湘,孙文瑜著,最优化理论与方法,科学出版社,北京,1997 [3]徐俊明著.图论及其应用,中国科学技术大学出版社,合肥,1997 ………,…· 国内正式出版的数学建模教材、译著及竞赛辅导材料 E.A. Bender,数学模型引论,朱尧辰、徐伟宣译,科学普及出版社,1982. 近滕次郎,数学模型,宫荣章等译,机械工业出版社,1985 C.L.戴姆,E.S.艾维著,教学构模原理,海洋出版社,1985 姜启源,数学模型高等教育出版社,1987 任善强,数学模型,重庆大学出版社,1987 ·M. Braun,C.S. Coleman,D.A.Drew,微分方程模型,朱短民、周宇虹译,国防科 技大学出版社,(本书为W.F. Lucas主编的 Modules in Applied Mathematics-书 的第一卷),1988 谌安琦,科技工程中的数学模型,中国铁道出版社,1988 江裕钊、辛培湾,数学模型与计算机模拟,电子科技大学出版社,1989 杨启帆、边馥萍,数学模型,浙江大学出版社,1990. ·董加礼、曹旭东、史明仁,数学模型,北京工业大学出版社,1990 唐焕文、恩民、孙育贤、孙丽华,数学模型引论,大连理工大学出版社,1990 要启源,数学模型(第二版),高等数育出版社,1993 ·H.P. williams,数学规划模型建立与计算机应用,国防工业出版社,1991 (下转第573页)

钢管的订购和运输解答模型 邵铮周天凌马健兵 (清华大学,北京100084) 指导老师扈志明 编者按本文把B题的问题1和3归结为网络最小费用流问题,建立了线性和非线性最小 费用流模型,井运用相应的解法和分支定界法求解,叙述清晰,简洁,层次分明,本刊予以部分 发表.我们指出:本文的网络流模型和线性规划中标号运输问题模型是等价的 摘要首先通过最短路算法简化了供需距离网络,去掉了铁路、公路等边的性质,使供需 距离网络简化为一个供需运输价格表,在此基础上构造了三个模型:线性费用的网络流模型、 改进的线性费用的网络流模型和具有非线性费用的网络流模型.通过改进传统的最小费用最 大流算法,解决了本题的非线性费用网络流模型,并给出了算法的正确性证明与复杂度分析 关键词运输问题;网络流;树形网络;分支定界 1问题的提出(略) 2基本假设和符号说明 2.1基本假设 1.原图是一个连通的简单图; 2.铁路、公路的运量没有限制; 3.为了满足费用最小的要求,允许出现生产过剩现象; 4.工厂的数目(图中S点的个数)不太多,约在10个以下 5.待铺设的钢管长度不太长,约在10000公里以下; 6.待铺设的线路的段数不太多,约在40段以下; 7.公路运输不足整公里部分按整公里算 2.2符号说明 1.工厂(图中S点),设有n个,记作S1、S2,…S 2.在不至于混淆的情况下,S1同时用来表示每个工厂的产量,i=1,…n; 待铺设线路的端点(图中A点以后简称关节点),设有m个,记作A1A2…An; 在不至于混淆的情况下,A,同时用来表示从各个工厂运到A1的钢管总数量,=1 5.待铺设的管道,记作P(j≠k),表示A与A4之间有一条待铺设的管道,它的长度 也用P来表示,如果A与A之间没有待铺设的管道,则Pk=0 6.SAQ表示从S到A的运输量,=1,…n,=1,…m 7.SAP表示从S到A运输单位长度钢管的最小费用,=1,…n,)=1,…m; 8.AAQ表示A提供的用于铺设A与A4之间管道的长度,,k=1,…m,显然有 LAQa t AAQh= P;

钢管的订购和运输解吝模型 9.下文所有费用的单位均为千元 3问题的分析与简化 3.1问题的分析 整个铺设管道的工程看似错综复杂,其实可分为三个部分 各个工厂(S点)生产一定数量的钢管 2.把钢管从工厂(S点)运送到铺设管道的关节点(A点) 3.从关节点(A点)将管道运至铺设地点 这三个部分是相互依赖的,不能简单地把三个部分孤立开来讨论.但是通过仔细观察 我们发现第二部分中的运费事实上只与出发点(S点)、目标点(A点)和运量有关,并且是 运量的线性函数,具备可叠加性 运输总费用:W=∑∑SAQn×SAP 因此,我们可以简化第二部分的计算,即先从铁路与公路网络得出SAP矩阵 3.2问题的简化 求SAP矩阵的基本思路是图的最短路算法 由于铁路的运输费用与线路的长度不是线性关系,必须对铁路网做一些预处理才能套 用图的标准最短路算法 下面叙述求SAP矩阵的过程: 1.利用图的标准最短路算法,从铁路网络得出图中任两个点之间的最短路径表T(如 果两个点之间不连通,认为它们之间的最短路长度为+∞) 2.利用题中的铁路运价表将T中的每个元素(即最短距离)转化为运输费用,将运输 费用表记为C. 3.将公路的长度换箅为运输费用,由公路路程图(包括要沿线铺设管道的公路)得出公 路费用图G,若i,j不连通,则令Ga=+∞ 4.对于任一组(i,j)∈1,n}×,…m}如果C<+∞,且小于G,那么就在公路 费用图中加一条边.即令G= min Ci,G 利用图的标准最短路算法,求公路费用图中任一个S点到任一个A点的最小费用 路径,得出SAP矩阵.如表1所示: 表1图1的SAP矩阵 5 6 10 1170716031402986380205312126429209601060121212801420 2215720531902171611109558607121142142014601560171217801920 3230722032002181612101055960862482820860960111211801320 420532610110510608970 5257245322522066146013051210111279257030510712730870 626572553235221661560140513101212842620510450262110280 727572653245222661660150514101312992760660560382260