【解一】由x+2y=1得, 故 t∈ 1),则y=1-t,= 2t2+3t (2+)+33-22=3+2V5,当且仅当=y 1 时,即x=√2 2时取等号 【解二】u=+1+(x+2)=3+( 点+,因x>0,y>0,故u=3++23+2,当 且仅当=时,即x=√2-1,y=1-y时取等号 变(1).【解一】由 1得,x=y,则y>2,故=x+y= y,设y-2=1>0,则y =t+2,t -2=2+3+2)=3+(+≥3+2V,当且仅当1=√D时,即x=2+1,y =2+√2时取等号 【解三1】=x+y=(+2+3=3++3,因x>0,y>0,故m=3+(2+3=3+22,当 且仅当=时,即x=V2+1,=2+V2时取等号 变(2).若正数a,b满足a+b=2, +1b+1 的最小值是() 解a+1b+1a+1b+14a+1)+(b+1-41+4+1+1b+14+2k小9 b+14(a+1) b+14(a+1) 且仅当 a+1b+1 即a=3,b=3时取等号 【练习7】(1).已知a>1,b>0,且a+2b=2,则2 的最小值为 【解】由a+2b=2得,(a-1)+2b=1, 2-1+=21+b-2=2x2-1+3a-1)+2-2 2[3+ba-1)+2=1-2≥41+V2) (2).已知a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则+一+的最小值是 【解2+b+2=2++a+2+4=4+份+2+2+52+2+5≥4+25+25+2=6+ 42,当且仅当a=V2b,a=c,c=V2b,即a=c=22-V2),b=3(√2-1)时,等号成立 【例8】若正数a,b满足+b-=1,则-1+b-1的最小值是 第6页共18页
第6页 共18页 【解一】由 x＋2y＝ 1 得，x＝ 1－ 2y，则 0＜y＜ 1 2 ，故 u＝ 1 x ＋ 1 y ＝ 2 1 2 y y y − − ，设 1－ y＝ t∈ ( 1 2 ， 1)，则 y＝ 1－ t， 2 2 1 1 2 2 3 1 1 (2 ) 3 y t u y y t t t t − = = = − − + − − + + ≥ 1 3－2 2 ＝ 3＋2 2，当且仅当 t＝ 2 2 时，即 x＝ 2－ 1，y＝ 1－ 2 2 时取等号． 【解二】u＝ 1 x ＋ 1 y ＝ ( 1 x ＋ 1 y )(x＋2y)＝ 3＋( x y ＋ 2y x )，因 x＞0，y＞0，故 u＝ 3＋( x y ＋ 2y x )≥3＋2 2，当 且仅当x y ＝ 2y x 时，即 x＝ 2－ 1，y＝ 1－ 2 2 时取等号． 变⑴．【解一】由 1 x ＋ 2 y ＝ 1 得，x＝ 2 y y − ，则 y＞2，故 u＝ x＋y＝ 2 2 y y y − − ，设 y－ 2＝ t＞0，则 y ＝ t＋2，u＝ 2 2 y y y − − ＝ 1 t (t 2＋3t＋2)＝ 3＋(t＋ 2 t )≥3＋2 2，当且仅当 t＝ 2时，即 x＝ 2＋1，y ＝ 2＋ 2时取等号． 【解二】u＝ x＋y＝ (x＋y)(1 x ＋ 2 y )＝ 3＋( y x ＋ 2x y )，因 x＞0，y＞0，故 u＝ 3＋( y x ＋ 2x y )≥3＋2 2，当 且仅当y x ＝ 2x y 时，即 x＝ 2＋1，y＝ 2＋ 2时取等号． 变⑵．若正数 a，b 满足 a＋b＝2，则 1 a＋1 ＋ 4 b＋1 的最小值是( ) 【解】 1 a＋1 ＋ 4 b＋1 ＝( 1 a＋1 ＋ 4 b＋1 )· 1 4 [(a＋1)＋(b＋1)]＝ 1 4 1＋4＋ b＋1 a＋1 ＋ 4(a＋1) b＋1 ≥ 1 4 (5＋2 4)＝ 9 4 ，当 且仅当b＋1 a＋1 ＝ 4(a＋1) b＋1 ，即 a＝ 1 3 ，b＝ 5 3 时取等号． 【练习 7】⑴．已知 a＞1，b＞0，且 a＋2b＝2，则 2 1 a－1 ＋ a b 的最小值为____________________． 【解】由 a＋2b＝2 得，(a－1)＋2b＝1，2 1 a－1 ＋ a b ＝2( 1 a－1 ＋ 1 b )－2＝2( 1 a－1 ＋ 1 b )[(a－1)＋2b]－2＝ 2[3＋ 1 b (a－1)＋2 b a－1 ]－2≥4(1＋ 2)． ⑵．已知 a，b，c 都是正数，且 a＋2b＋c＝ 1，则 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c 的最小值是 ． 【解】1 a ＋ 1 b ＋ 1 c ＝ ( 1 a ＋ 1 b ＋ 1 c )(a＋2b＋c)＝ 4＋( a b ＋ 2b a )＋(2 b c ＋ c b )＋( a c ＋ c a )≥4＋2 2＋2 2＋2＝ 6＋ 4 2，当且仅当 a＝ 2b，a＝ c，c＝ 2b，即 a＝ c＝ 1 2 (2－ 2)，b＝ 1 2 ( 2－ 1)时，等号成立． 【例 8】若正数 a，b 满足1 a ＋ 1 b ＝1，则 1 a－1 ＋ 9 b－1 的最小值是________．
【解】因正数ab满足+=1,故b=1>0,解得a>1.同理可得b>1,故21+ 11+%a-1)≥6,当且仅当a=1=9a-1),即a=时等号成立,故最小值为6 】由+=1得,mb=a+,即a-1Xb-12=,故+21≥6 4x9 【练习8】已知正数x,y满足+=1,则 的最小值为 4 【解】 知,xy=x+y,即(x-1)y-1)=1,故—, =13+ ≥13+12 【例9】若x,y∈R,且x+2y=1,求z=2x+4的最小值 【解】:=2+4≥2324=22+1=22,当且仅当x=2y=时,等号成立,故:=2+4 的最小值为2V2 【练习9】(1).已知x>0,y>0,logx+ loggy=4,求u=x+y的最小值 (2).求y=log3x+4log3(x>1)的最小值;变:0<x<1,求最大值. (3).已知0<a<1,0<x≤y<1,且 logaxlogay=1,则x有 值:其值为」 ①.0<a<1,1<x≤y,xy有 值;其值为 ②.a>1,0<x≤y<1,xy有 值:其值为 有 值,其值为 【解】(1.由logV2x+ logy=4得,log(y)=4,即xy=4,故u=x+y≥xy=4,当且仅 当x=y=2时,等号成立,故u=x+y的最小值为4 (2.因x>1,故logx>0,log3>0,故y=logx+4g3≥2√4(og3x)(og3)=4,当且仅 当x=9时,等号成立,故y=log3x+4log3(x>1)的最小值为4 3.因0<a<1,0<x≤y<1,故ogx>0,lgy>0,故log()=logx+lgy≥2 hoga r logar =2,当且仅当x=y=a时,等号成立,故log(xy)≥2=log2,故xy有最大值为a2 变题:①.因0<a<1,1<x≤y,故 logar<0, logar<0,故log(xy)= logar+log≤-2√ log, x log,y 2,当且仅当x=y=a时,等号成立,故1g)-2=lg2x有最小值为 ②.因a>1,0<x≤y<1,故 logar<0,logu<0,故ogx)=logx+logu≤-2√ /loga x logar 2,当且仅当x=y=a时,等号成立,故log()≤-2=loga,x有最大值为 ③.因a>1,1<xsy,故logx>0,log>0,故ogx)= logar+log≥2√ log, xlog, y=2 当且仅当x=y=a时,等号成立,故 logd(ry)≥2=loga2,xy有最小值为a2 【例10】求下列函数的最小值 第7页共18页
第7页 共18页 【解一】因正数 a，b 满足1 a ＋ 1 b ＝1，故 b＝ a a－1 ＞0，解得 a＞1．同理可得 b＞1，故 1 a－1 ＋ 9 b－1 ＝ 1 a－1 ＋ 9 a a－1 －1 ＝ 1 a－1 ＋9(a－1)≥6，当且仅当 1 a－1 ＝9(a－1)，即 a＝ 4 3 时等号成立，故最小值为 6． 【解二】由1 a ＋ 1 b ＝1 得，ab＝a＋b，即(a－1)(b－1)＝1，故 1 a－1 ＋ 9 b－1 ≥6． 【练习 8】已知正数 x，y 满足1 x ＋ 1 y ＝1，则 4 9 1 1 x y x y + − − 的最小值为 ． 【解】由1 x ＋ 1 y ＝1 知，xy＝x＋y，即(x－1)(y－1)＝1，故 4 9 1 1 x y x y + − − ＝13＋ 4 9 x y 1 1 + − − ≥13＋12 ＝25． 【例 9】若 x，y∈R，且 x＋2y＝ 1，求 z＝ 2 x＋4 y的最小值． 【解】z＝ 2 x＋4 y≥2 2 x·4y＝2 2 x＋2y＝ 2 2，当且仅当 x＝ 1 2 ，y＝ 1 4 时，等号成立，故 z＝ 2 x＋4 y 的最小值为 2 2． 【练习 9】⑴．已知 x＞0，y＞0，log 2x＋log 2y＝ 4，求 u＝ x＋y 的最小值． ⑵．求 y＝ log3 x＋4logx3(x＞1)的最小值；变：0＜x＜1，求最大值． ⑶．已知 0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且 logaxlogay＝ 1，则 xy 有 值；其值为 ． 变：①．0＜a＜1，1＜x≤y，xy 有 值；其值为 ． ②．a＞1，0＜x≤y＜1，xy 有 值；其值为 ． ③．a＞1，1＜x≤y，xy 有 值，其值为 ． 【解】⑴．由 log 2x＋log 2y＝ 4 得，log 2(xy)＝ 4，即 xy＝ 4，故 u＝ x＋y≥2 xy＝ 4，当且仅 当 x＝ y＝ 2 时，等号成立，故 u＝ x＋y 的最小值为 4． ⑵．因 x＞1，故 log3 x＞0，logx3＞0，故 y＝ log3 x＋4logx3≥2 4(log ) (log 3) 3 x x ＝ 4，当且仅 当 x＝ 9 时，等号成立，故 y＝ log3 x＋4logx3(x＞1)的最小值为 4． ⑶．因 0＜a＜1，0＜x≤y＜1，故 logax＞0，logay＞0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≥2 log log a a x y ＝ 2，当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≥2＝ logaa 2，故 xy 有最大值为 a 2． 变题：①．因 0＜a＜1，1＜x≤y，故 logax＜0，logay＜0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≤－ 2 log log a a x y ＝ － 2，当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≤－ 2＝ loga 1 a 2，xy 有最小值为 1 a 2． ②．因 a＞1，0＜x≤y＜1，故 logax＜0，logay＜0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≤－ 2 log log a a x y ＝ － 2，当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≤－ 2＝ loga 1 a 2，xy 有最大值为 1 a 2． ③．因 a＞1，1＜x≤y，故 logax＞0，logay＞0，故 loga(xy)＝ logax＋logay≥2 log log a a x y ＝ 2， 当且仅当 x＝ y＝ a 时，等号成立，故 loga(xy)≥2＝ logaa 2，xy 有最小值为 a 2． 【例 10】求下列函数的最小值