二、第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速v= P(x, y,z) i +Q(x, y,z) j+R(x,y,z) k从曲面S的负侧流向正侧（图22-5),其中P,Q,R为所讨论范围上的连续函S二数,求在单位时间内流过(5n,5.)曲面S的总流量E设在s上任一点(x,y,z图22-5处的正向单位法向量为后页返回前页
前页 后页 返回 v P x y z Q x y z R x y z = ( , , ) i + ( , , ) j + ( , , ) k 二．第二型曲面积分的概念 先考察一个计算流量的问题. 设某流体以流速 从曲面S 的负侧流向正侧(图22-5), 其中 P, Q, R 为 所讨论范围上的连续函 数, 求在单位时间内流过 曲面 S 的总流量 E. 设在 S 上任一点 ( , , ) x y z 处的正向单位法向量为 图22 5 − S ( , , ) i i i n v Si
n = (cosα,cosβ,cosy)这里 α, β,都是x,y,z的函数.则单位时间内流经小曲面块S,的流量d, ~ v(Si,ni,S).n(Si,ni,S,)AS=[P(5,n;,5,)cosα, +Q(5,ni,S,)cos β+R(5,n;,S,)cos;1AS;其中 M,(5,n;,S,)E S,是任意取定的一点;ni=(cosα;，cosβ;，cos)是点M,处的单位法向量；AS,cosα;，△AS,cosβ,，△S,cosy;分别是S在坐标面后页返回前页
前页 后页 返回 n = (cos ,cos ,cos ), 这里, , 都是x, y, z 的函数. 则单位时间内流经 小曲面块 Si 的流量 ( , , ) ( , , ) i i i i i i i i v n S [ ( , , )cos ( , , )cos P Q i i i i i i i i = + ( , , )cos ] , R S i i i i i + 其中 ( , , ) M S i i i i i 是任意取定的一点; i (cos , cos , cos ) n = i i i 是点 处的单位法向量; Mi 分别是 Si cos , cos , cos S S S i i i i i i 在坐标面
yz, zx,xy 上投影区域的近似面积,分别记作 △Si(x)△Si(zx),△Si(x)·于是单位时间内由 S,的负侧流向正侧的流量Φ也就近似等于P(5,n;,S,)AS(z) +Q(5,n,S:)ASi(x) + R(5,n,S)ASi()所以,单位时间内由S的负侧流向正侧的总流量@=Z@,= limZ[P(5,n,5,)AS(s)ITI-→>0i-1i-1+Q(5,n;,5,)ASi(x) + R(5,n;,5)ASi()]这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) . P S Q S R S i i i i yz i i i i zx i i i i xy + + ( ) ( ) , . S S i zx i xy 于是单位时间内由 Si 的负侧流向正 所以, 单位时间内由 S 的负侧流向正侧的总流量 这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第 侧的流量 i 也就近似等于 ( ) || || 0 1 1 lim ( , , ) n n i i i i i yz T i i P S → = = = = ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) . Q S R S i i i i zx i i i i xy + + yz zx xy , , 上投影区域的近似面积, 分别记作 ( ), Si yz
二型曲面积分定义1设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数对 S作分割 T,它把S分为 S,,S,，,S,，分割 T的细度为II T II= max(S, 的直径).AS(yz) ,AS,Si(zx),ASi(x)分别表示 S,在三个坐标面上-的投影区域的面积，它们的符号由S,的方向来确定：≥0,S, 取上侧,△S (x)≤0,S,取下侧;后页返回前页
前页 后页 返回 的投影区域的面积, 它们的符号由 Si 的方向来确定: ( ) ( ) ( ) , , S S S i yz i zx i xy 分别表示 Si 在三个坐标面上 二型曲面积分. 定义1 设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数. 对 S 作分割 T , 它把 S 分为 1 2 , , , , S S Sn 分割 T 1 || || max . i i n T S = 的直径 ( ) 0, , 0, i i xy i S S S ; 取上侧 取下侧 的细度为
≥0,S,取前侧,AS i(y)≤0,S,取后侧;≥0,S,取右侧S (ax)≤0,，S,取左侧。V(5,ni,5)eS, i=1,2,.., n. 若nI = limZP(5i,n,S:)ASi(or)ITI>0i-1n+ limZ(,n;,5,)ASi(x)ITI→>0i=1nZR(5,n,S)ASi(x)+ limITI→>0i=1前页后页返回
前页 后页 返回 ( ) || || 0 1 lim ( , , ) n i i i i yz T i I P S → = = ( ) || || 0 1 lim ( , , ) n i i i i xy T i R S → = + ( , , ) , 1, 2, , . = i i i i S i n 若 ( ) 0, , 0, i i yz i S S S ; 取前侧 取后侧 ( ) 0, , 0, . i i zx i S S S 取右侧 取左侧( ) || || 0 1 lim ( , , ) n i i i i zx T i Q S → = +