第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 A分点训练·打好基础 9.已知二次函数y=-x2+2x+3 (1)求函数图象的顶点坐标,并画出这个函数的图象 知识点一将二次函数y=ax2+bx+c转化为(2)根据图象,直接写出: y=a(x-h)2+k的形式 ①当函数值y为正数时,自变量x的取值范围 1.(内江资中县一模)将二次函数y=x2-6x+5用配 ②当-2<x<2时,函数值y的取值范围 方法化成y=(x-h)2+k的形式,正确的是(C) 解:(1)∵y=-x2+2x+3 A.y=(x-6)2+5 B.y=(x-3)2+5 (x-1)2+4 C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-9 ∴函数图象的顶点坐标为 -5-4321D2345x 2.二次函数y=2x2+4x-3的图象的对称轴为(D) A.直线x=2 函数的图象如图所示 B.直线x=4 (2)根据图象可知 C.直线x=-3 D.直线x=-1 ①当-1<x<3时,函数值y为正数 3.二次函数y=-x2+2x+4的最大值为【方法7】 ②当-2<x<2时,函数值y的取值范围是-5<y≤4. (C) B.4 4.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 D.第四象限 知识点三二次函数字母系数与图象的关系 C.第三象限 5.将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位,再向 10.(成都模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图 右平移3个单位后,得到的抛物线所对应的函数表 所示,则应满足的条件是【方法6】 (D) B.a<0,b<0,c>0 达式为 C.a>0,b<0,c<0 D.a>0,b>0,c<0 A.y=(x-1)2+4 B.y=( C.y=(x+2)2+6 D (x-4)2+6 6.已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过 点(1,1),则代数式1-a-b的值为 (B) 第10题图 第11题图 C.2 D.5 11.(自贡大安区模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+ 知识点二二次函数y=ax2+bx+c的图象与 c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),其对称 性质 轴为直线x=1,下面结论中正确的是【方法6】 7.关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是 A.开口向上 C.4a+2b+c<0 D.9a+3b+c=0 B.与x轴只有一个交点 C.对称轴是直线x=1 B综合运用·提升能力 D.当x>1时,y随x的增大而减小 12.已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时, 若A(-4,y1),B(-1,y2),C(1,y3)为二次函数y +4x-5的图象上的三点,则y1,y,y3的大 y随x的增大而增大,则m的取值范围是(D) B.n=3 小关系是y2<y<y3.【方法4】 C.m≤-1 D.m≥-1 14九年级数学下·HS
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13.(德州中考)如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax 物线对称轴的交点位置时,△MAO的周长最小 a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中 当x=时,y= 的图象可能是【方法3】 (B) 点M的坐标为(÷·t) B D C思维拓展·冲刺满分 14.二次函数y=ax2+bx+c的图 17.(自贡中考)如图,抛物线y=-x2+4ax+b(a> 象如图所示,有以下结论:①ab )与x轴相交于O,A两点(其中O为坐标原点), >0;②a-b+c<0;③2a=b; 过点P(2,2a)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物 ④4a+2b+c>0;⑤若点(-2 线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C y)和(-3,y)在该图象上,则y>y其中正确 (其中B,C不重合),连接AP交y轴于点N,连 接BC和PC 的结论是②④(填序号).【方法6】 15.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与 (1)当a=2时,求抛物线所对应的二次函数的表 轴交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题 达式和BC的长; (1)求抛物线所对应的二次函数表达式 (2)如图,当a>1时,若AP⊥PC,求a的值; (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两 点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD (3)是否存在实数a,使pN=2?若存在,求出a 的面积 的值;如不存在,请说明理由 解:(1)由题意,可得-3=(-4)2-4bx=-3 解:(1)∵抛物线y=-x2+4ax 3,解得b=6,c=5, +b(a>0)经过原点O, ∴b=0. 故抛物线所对应的二次函数表达 式为y=x2+6x+5 x (2)设C点横坐标为x,则D点横 ∴抛物线所对应的二次函数 坐标为x0+8 的表达式为y=-x2+6x.当x=2时,y=8 C,D两点关于直线x=-3对称, ∴点B的坐标为(2,8) +(x0+8=-3,解得x0=-7. 2 对称轴为直线x=-2×(-1)=3,点B,C关于 当x=-7时,y=12.对于y=x2+6x+5 对称轴对称, 令x=0,得y=5,即B点坐标为(0,5) ∴点C的坐标为(4,8),∴BC=2 故S△m=2CD·(12-5)=2×8×7=2 (2)∵抛物线经过点O,∴b=0 x2+4ax,易知A(4a,0) P(2,2a),PM⊥x轴, 16.已知二次函数y=mx2-5mx+1(m为常数,m> M(2,0),B(2,8a-4), 0),设该函数的图象与y轴交于点A,该图象上的 AM=4a-2 Pb=6a-4. BC=4a-4 点B与点A关于该函数图象的对称轴对称 AP⊥PC,∴∠APC=90° (1)求点A,B的坐标 ∴∠CPB+∠APM=90°,∠APM+∠PAM=90 (2)点O为坐标原点,点M为该函数图象的对称 ∠CPB=∠PAM. 轴上一动点,求当△MAO的周长最小时,点 ∵∠PBC=∠AMP=90° M的坐标 PB △PCB△APM,AM=MF 解:(1)当x=0时,y=1,则点A的坐标为(0,1) 抛物线对称轴为直线x=5m=5 整理得a2-4a+ 点B的坐标为(5,1) 解得a=2±√2 (2)设直线OB所对应的一次函数的表达式为y= ∵a>1,a=2+√2 kx,把B(5,1)代入可得5k=1,解得k (3)存在,∵PM∥NO AM AP MO PN 2 直线OB所对应的一次函数的表达式为y=5x 由(2)知AM=4a-2,OM=2, 由轴对称的性质可知当点M运动到直线OB与抛 第26章二次函数15
4"#5 6789 !% $+&$8)$*%¢H'9:!%"#","#&$1!%"# ,"$"Yu:'@""'%c]ÀíQ&UVj% ;HIçY'#$+( $? % $)&789: !%"#" &$#&%;H I¢H'[½´âã!!"$% #'&"",$&%$'&#""%$& %)"&"$&%#'&& µ T $,"' !$%1 ,$ + $ '!" %/HI'¸!$#!"&N%#6 ;âãY "% $ËÊ)%&'#$#( $-&¢H'¶·R!%#"&$#&%¾T*$,)',+%'W! PXT,'0OPY#%,+'Ìèo´jò&! $$%}¶·R01;789:D& $"%µ1# PÀá;QRW¶·RX0'+ g T'T0 0OPÅ'@ 0+%.'}',0+ ;í3& è!$$%Û&ª'Â,+%$,)%",)$ &%',$ "%,+'èÂ$%#'%%-' Ö¶·R01;789: DB!%#"&##&-& $"%0 TÐUVB#''¸+ TÐ UVB#'&.& E0'+ gTwQR#%,+0O' D#'&$#'&.% " %,+'èÂ#'%,1& #'%,1J'!'%$"&0!%#"&##&-' Ú#%''Â!%-'\, TUVB$''-%' Ö3',0+ %$ "0++$$",-%%$ "!.!1%".& $#&¤¥789:!%1#",-1#&$$1 Bu:'1# '%'/9:;HIW!PXT*'/HI; ]T, WT* w/9:HI;0OP0O& $$%}T *', ;UV& $"%T- BUVÈT'T ; B/9:HI;0O P]Å T'} ';*- ; % û E J'T ; ;UV& è!$$%#%'J'!%$'¸T * ;UVB$''$%& E¶·R0OPBQR#%-1 "1%- "' DT, ;UVB$-'$%& $"%QR-, 01;]89:;DB!% )#'q,$-'$%~Â-)%$'èÂ)%$ -& DQR-,01;]89:;DB!%$ -#' ÛP0O;y*¥T ; õÅQR-, W¶ ·R0OP;XTÃÄJ'';*- ;%ûE & #%- "J'!%$ "' DT ; ;UVB - "'$ $ " %& $1&$45$*%¢H'¶·R!%,#" &)"#&$$"# '%W#PvX-'* gT$N%- BUVÈT%' ¾T '$"'""%üQR ';/# PT ;'X¶· RT,'T, w¶·R0OP;0OTB0 $N%,'0 ÔÆ{%'ÿ *' X! PT <'ÿ ,0 1'0& $$%"%+ "J'}¶·R01;789:; D1,0 ;û& $"%¢H'"#$J'µ *'/'0'}";& $+%YZÑÚ:"'Ò*' '<%$ ") µÑ'}" ;&¢ÔÑ'Ì!""Û& è!$$%E ¶·R!% ,#" &)"# &$$"#'%)¾ÈT-' D$%'& E"%+ "' D¶·R01;789: ;DB!%,#"&##&#%"J'!%.' DT, ;UVB$"'.%& E0OPBQR#%, # "!$,$%%+'T ,'0 w 0OP0O' DT0 ;UVB$)'.%'D,0%"& $"%E¶·R)¾T-'D$%'' D!%,#"&)"#'.¥ *$)"''%& E'$"'""%'';/#P' D;$"''%',$"'.",)%' D*;%)","'',%#",)',0%)",)& E*'/'0'D(*'0%/'7& D(0',&(*';%/'7'(*';&('*;%/'7' D(0',%('*;& E(',0%(*;'%/'7' D''0,-'*';'D', *;%,0 ;'' D#",) )","%)",) "" 'C"Â"",)"&"%'' èÂ"%"0槡"& E"#$'D"%"&槡"& $+%Ñ&E';,<-'D*; ;-%*' '<%$ "& Û$"%¥ *;%)","'-;%"' D)"," " %$ "'D"%+ )&