B综合运用·提升能力 ∴这个函数图象与x轴的交点坐标是(3,0)和 (-√3,0) 11.函数y=与y=-kx2+k(k≠0)在同一平面直 16.已知抛物线的对称轴为y轴,该函数的最大值为 角坐标系中的图象可能是【方法3】 (B) 3,且经过点(1,1) (1)求此抛物线对应的二次函数表达式; (2)若该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交 B 于点C,求S△ABC 12若有二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2) 解:(1)根据题意设抛物线对应的二次函数表达式为y 时,函数值相等,则当x=x1+x2时,函数值为 =ax2+3,把(1,1)代入,得 (D) 1=a+3,解得a=-2 则抛物线对应的二次函数表达式为y=-2x2+3. B (2)令y=0,即-2x2+3=0 【解析】二次函数y=ax2+c的对称轴是y轴,当x取 解得x=士 AB=√6. x2(x1≠x2)时,函数值相等,即二次函数图象上以x1,x2 令x=0,则y=3,即OC=3 为横坐标的点关于y轴对称,则x1+x2=0,此时函数值 则S△=1AB.OC=36 13.如图,以矩形ABCD的两条对 称轴为坐标轴,点A的坐标为 (2,1).一张透明纸上画有一个 C思维拓展冲刺满分 点和一条抛物线,平移透明纸 使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式 17.(泸州中考改编)已知抛物线y=x2+1具有如 为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点D重 下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距 合,则该抛物线的函数表达式变为y=x2 离与到x轴的距离始终相等.如图,点M的坐标 【解析】∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,∴A点与D 为√3,3),P是抛物线y=4x2+1上一个动点 点关于x轴对称。又∵点A的坐标为(2,1),故点D的坐 标为(2,-1).∴透明纸上的点由A点平移至D点,向下 (1)若PF=5,求点P的坐标; 平移了2个单位,即抛物线向下平移了2个单位,∵透明 (2)求△PMF周长的最小值 纸上的点经过A点时,抛物线的函数表达式为y=x2 解:(1)∵PF=5,由题意可知点 该点经过D点时,抛物线的函数表达式为y=x2-2. P的纵坐标为5 14.★已知抛物线y=x2-k的顶点为P,与x轴交于 即+x2+1=5,解得x=±4 点A,B(点A在点B的左边),且△ABP是正 ∴点P的坐标为(4,5)或 角形,则k的值为3 (-4,5) 15.已知二次函数y=ax2+c的图象过点(-2,-3) (2)如图,过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y 和点(1,6) =1x2+1于点P (1)求二次函数的表达式; (2)当x取何值时,函数y随x的增大而增大? 由题意可知PF=PE,故此时△PMF的周长最小 (3)求这个函数图象与x轴的交点坐标 过点F作FN⊥MP于点N 解:(1)将(-2,-3)和(1,6)代入y=ax2+c,得 F(0,2),M(√3,3) ∴ME=3,FN=√3,MN=1 解得 6=a+c 3x2+9 △PMF周长的最小值为MF+FP+MP=ME (2)当x<0时,y随x的增大而增大 FM=3+2=5 (3)当y=0时,一3x2+9=0,解得x=±√3. 第26章二次函数9
4"#5 6789 ) $$&9:!%) #W!%,)#"&)$)"'%c]ÀíQ &UVj%;HIçY'#$+( $? % $"&µ[789:!%"#"&%'#Ï#$'#"$#$"#"% J'9:v2'¸#%#$&#" J'9:B $B % @:"&% ?:",% A:,% B:% !$%"1234!%"#"&%56789! 8#:# ;#$# #"$#$"#"%<#34=>?#01234#@AB #$##" CDEF5GHI! 867#J#$ &#" %'#K<34= C!%"#"&%%'&%%%& $+&¢H'½» *,0+ ;g@0 OPBUVP'T * ;UVB $"'$%&] Ø"Ù[]? T1]@¶·R'ÀÁØ"Ù' Ò¬?TWT * Æ{'2J¶·R;9:D B!%#"'l8ÀÁØ"Ù'Ò¬?TWT + Æ {'¸/¶·R;9:DGB !%#"," & !$%"ELM *,0+ 5NO678CEF8#D*GP+ GHI# 867&QEG * 5EFC$"#$%#RG + 5E FC$"#,$%&DSTUA5G* * GVWX+ G#YZ VW["\]^#0_`aYZVW["\]^&EST UA5Gb c * G <#_ ` a 5 3 4 d e f C !%#"# DgGbc + G<#_`a534defC!%#","& $)&.¤¥¶·R!%#",);STB''W#PX T *',$T * T, ;Åm%'@'*,' Y#> &»'¸);B + & $-&¤¥789:!%"#"&%;HI¾T$,"',+% 1T$$'#%& $$%}789:;D& $"%#ÏkJ'9:!O# ;â) $+%}¬?9:HIW#P;XTUV& è!$$%$,"',+%1$$'#%~!%"#"&%' ,+%"!$,"%"&%' *#%"&%' è "%,+' *%%/& D!%,+#"&/& $"%#$'J'!O# ;â& $+%!%'J',+#"&/%''èÂ#%0槡+& D¬?9 : H I W # P ; X T U V Y $槡+''%1 $,槡+''%& $#&¤¥¶·R;0OPB! P'/9:;EB +'@)¾T$$'$%& $$%}2¶·R01;789:D& $"%µ/¶·RW# PX*', gT'W! PX T0'}3'*,0 & è!$$%LM&ª¶·R01;789:DB! %"#"&+'q$$'$%~' $%"&+'èÂ"%,"' ¸¶·R01;789:DB!%,"#"&+& $"%Ú!%''\,"#"&+%'' èÂ#%0槡# "'\ *,%槡#& Ú#%''¸!%+'\-0%+' ¸3'*,0 %$ "*,+-0%+槡# " & $1&$()$*+,%¤¥¶·R!%$ )#"&$ó[¢ ´y*!/¶·RÙª]T<T7$''"%;þ ±W#P;þ±ÛÜv2&¢H'T ; ;UV B$槡+'+%'' Y¶·R!%$ )#"&$]?ÅT& $$%µ'7%-'}T' ;UV& $"%}'';7 %û;E & è!$$%E'7%-'Û&ª¥T ' ;UVB-' \$ )#"&$%-'èÂ#%0)& D T ' ; U V B $)'-%¦ $,)'-%& $"%¢H'¾T ; ü ;6/# PT6'X¶·R! %$ )#"&$T'' Û&ª¥'7%'6'Ö2J'';7 ;%ûE & ¾T7 ü7</;' T<& E7$''"%';$槡+'+%' D;6%+'7<%槡+';<%$' D7;%"' D'';7%û;E B ;7&7'&;'%;6& 7;%+&"%-&
第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 A分点训练·打好基础 7.二次函数y=a(x-h)2的图象如图所示,已知a= 1,OA=OC,试求该抛物线对应的二次函数表达式 知识点一二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 1.二次函数y=-2(x+1)2的图象的对称轴是(B) 解:∵OA=OC ∴点A的坐标为(0,h) A.直线x=1 B.直线x=-1 C.y轴 D.x轴 又:a= 2.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠ h=-(0-h)2 0)的图象可能是【方法2】 (D) h1=2,h2=0(舍去) ∴该抛物线对应的二次函数表达式为y=(x-2) 3抛物线y=3(x-1)2的顶点坐标是(1。0),对称知识点二二次函数y=a(x-h)与y=ax2图 轴是直线 1时,y最小值= 象之间的关系【易错1】 8.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2,则 4.已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1) 这个平移过程正确的是 (A) B(a,y2),其中a>2,则y1与y的大小关系是yA向左平移2个单位B向右平移2个单位 >y2 或“=”).【方法4】 C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位 5下列函数图象的顶点在x轴上的有②①,顶9.抛物线x=-8+向有平移3个单位得到抛物 点在y轴上的有①③(填序号) 线对应的二次函数表达式是y=-3(x-2)2 10.已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是(-2,0),它是 ①y=-x2-1;②y=-(x+1)2;③y=1-x2; 由抛物线y=-6x2平移得到的,则a=-6, ④y=3(x-1) 6已知二次函数y=a(x-b)2图象的顶点坐标是1.已知二次函数y=1(x-2) (-5,0),且过点(0,-3) (1)求二次函数的表达式; (1)画出此函数的图象; (2)当x为何值时,函数值y随x的增大而增大 (2)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点 解:(1)∵二次函数y=a(x-h)2图象的顶点坐标是 坐标 (-5,0), (3)说明该函数图象与二次函数y=3x2的图象 h=-5,即二次函数的表达式为y=a(x+5)2 之间的关系 二次函数图象过点(0,-3), 解:(1)画图象略 ∴a(0+5)2=-3,解得a (2)该函数图象的开口方向向上,对称轴是直线x =2,顶点坐标为(2,0) 次函数的表达式为y=-25(x+5) (3)该函数图象与二次函数y=5x2的图象的形状 (2)∵抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-5 ∴当x<-5时,函数值y随x的增大而增大 和开口方向都相同 把二次函数y=的图象向右平移2个单位可 (x-2)2的图象 10九年级数学下·HS
!* [\]9^_#!" 4"¨m 6789!%"%#,(&" <EI)Á '()* #$%&!%"!#,("" +56978 $&789:!%,"$#&$%" ;HI;0OPY$? % @:QR#%$ ?:QR#%,$ A:!P B:#P "&ÀíQ&UVj%'789:!%"$#,(%"$"" '%;HIçY'#$"( $B % +&¶·R!%+$#,$%" ;STUVY $$''% '0O PY Q R #%$ ' #% $ J'!E % ' & )&¤¥ 9 : !% , $#,$%" H I g T*$"'!$%' ,$"'!"%'N%"#"'¸!$ W!" ; wjY!$ # !"$Ë"$#"##¦"%#%&'#$)( -&´j9:HI;ST # P;[ "% 'S T!P;[ !# $ËÊ)%& !!%,$ +#",$&"!%,$#&$%"&#!%$,#"& %!%+$#,$%"& #&¤¥789:!%"$#,(%" HI;STUVY $,-''%'@¾T$'',+%& $$%}789:;D& $"%#BkJ'9:!O# ;â) è!$$%E7 8 9 : !%"$#,(%" H I ; S T U V Y $,-''%' D(%,-'\789:;DB!%"$#&-%"& E789:HI¾T$'',+%' D"$'&-%"%,+'èÂ"%,+ "-& D789:;DB!%,+ "-$#&-%"& $"%E¶·R;±²³´'0OPBQR#%,-' D#$,-J'9:!O# ;â& 1&789:!%"$#,(%" ;HI¢H'¤¥"% $ "'-*%-0'À}/¶·R01;789:D& è!E-*%-0' DT * ;UVB$''(%& ÔE"%$ "' D(%$ "$',(%"' D($%"'("%'$ÝÞ%& D/¶·R01;789:DB!%$ "$#,"%"& '()# #$%&!%"!#,("" 9!%"#" 5 6:;+-1'%&$( .&¶·R!%#" ÀÁ¶·R!%$#&"%"'¸ ¬?ÀÁ¾_#6;Y $@ % @:³ÅÀÁ"?à ?:³ÇÀÁ"?à A:³ÀÁ"?à B:³´ÀÁ"?à /&¶·R!%,+$#&$%" ³ÇÀÁ+?ö· R01;789:DY !%,+$#,"%" & $'&¤¥¶·R!%"$#&(%" ;STY$,"''%'¹Y Û¶·R!%,##" ÀÁÂ;'¸"% ,# ' (% " & $$&¤¥789:!%$ +$#,"%"& $$%29:;HI& $"%0/9:HI;±²+³(0OP1ST UV& $+%!"/9:HIW789:!%$ +#" ;HI no;wj& è!$$%HI÷& $"%/9:HI;±²+³³'0OPYQR# %"'STUVB$"''%& $+%/9:HIW789:!%$ +#" ;HI;»¼ 1±²+³Mvc' q789:!% $ +#" ;HI³ÇÀÁ"?à Â!%$ +$#,"%" ;HI&
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴交 B综合运用·提升能力 于点D,求点D,C的坐标 12.将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得图 解:(1)由题意得点A的坐标y 象不经过点A(1,4)的方法是 (D) 为(1,0),点A1的坐标为 A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位 (2,0),点B1的坐标为 C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位 (2,1) 3.在平面直角坐标系中,函数y=-x+1与y= 设抛物线所对应的二次函O 数表达式为y=a(x-1)2 2(x-1)的图象大致是【方法3】(D) 将(2,1)代入该表达式,得1=a(2-1)2,解得a=1, 抛物线所对应的二次函数表达式为y=(x-1) (2)令x=0,得到y=(0-1)2=1, ∴D点的坐标为(0,1 由题意知,直线OB在第一、三象限的角平分线上 C ∴直线OB所对应的一次函数表达式为y=x. 14.已知二次函数y=2(x-h)2,当x>3时,y随x 的增大而增大,则h的取值范围是h≤3 根据题意得 y=(x-1) 15.如图所示是二次函数y=a(x+m)2的图象 √5 (1)求二次函数的表达式 √5 (2)请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴及函数具 3+5 5 有的性质; (3)将(1)中所求抛物线绕顶点旋转180°,求旋转 1(舍去),∴x 5 后的抛物线对应的二次函数表达式 解:(1)由题图可知抛物线y=a(x+ ∴点C的坐标为(3,3-5 m)2的顶点坐标为(2,0),且经过 C思维拓展冲刺满分 y=a(x-2)2 将(0,-1)代人y=a(x-2)2,得4a=-1, 17.已知二次函数y=(x+2)2的图象与x轴交于点 A,与y轴交于点B,连接AB (1)求点A、点B的坐标; (2)顶点坐标为(2,0),对称轴是直线x=2. (2)求S△B; 当x<2时,y随x的增大而增大 (3)在对称轴上是否存在一点P,使以P,A,O,B 当x>2时,y随x的增大而减小 四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在 当x=2时,y大面=0 (3)将抛物线绕顶点旋转180°,则新的抛物线与原 求出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)A(-2,0),B(0,4) 抛物线关于x轴对称 (2)S△知=OA·OB=方X -y=-+(x-2)2,即y=(x-2)2 2X4=4 旋转后的抛物线所对应的二次函数表达式为y (3)存在 ∵点P为对称轴直线x=-2上的一点, ∴点P的横坐标为-2,且PA∥OB. 16.如图,Rt△OAB中,∠OAB=90°,O为坐标原点 若以点P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形 边OA在x轴上,OA=AB=1,把Rt△OAB沿x 则PA=OB=4 轴正方向平移1个单位后得到△AA1B1 点P的纵坐标为4或-4,即P点的坐标为 (1)求以点A为顶点,且经过点B1的抛物线所对 (-2,4)或(-2,-4 应的二次函数表达式; 第26章二次函数1
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第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 A分点训练·打好基础 知识点二二次函数y=a(x-h)2+k与 ax2的图象之间的关系【易错1】 知识点一二次函数y=a(x-h)2+k的图象与7.将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1 性质 个单位,所得抛物线对应的函数表达式是(C) 1.(岳阳中考)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是 1.y=(x+2)2+1 (C) C.y=(x-2)2+1 B.(-2,-5) 8.将如图所示的抛物线向右平移1个单位,再向上平 D.(2 移3个单位后,得到的抛物线对应的函数表达式是 2.二次函数y=(x+2)2-1的图象大致为【方法2】 (C) (D) A.y=(x-1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 3已知二次函数y=(x-2)2+1,下列说法:①其图【变式题】将二次函数y=(x-1)2-2的图象先向 象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=2 右平移1个单位,再向上平移1个单位后顶点的坐 ③其图象顶点坐标为(,-1;④当x<2时,y随x标为 的增大而减小.则其中说法正确的有 (B) A.(1,3) 个B.2个 D.4个 D.(0,1) 4.设抛物线y=(x+3)2-4的对称轴为直线l,若点9.将抛物线=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再 M在直线l上,则点M的坐标可能是 (C) 向上平移b个单位,所得抛物线与抛物线y=ax2 B.(3,0) 重合,则a+b C.(-3,0) D.(0,-4) 5.已知二次函数y=(x-2)2+3,当x<2时,y随x B综合运用·提升能力 的增大而减小 【变式题】若二次函数y=(x-m)2-1,当x≤1时,y10.如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线y 随x的增大而减小,则m的取值范围是m≥1 a(x-3)2+k与y轴的交点,点B是这条抛物线 6.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2) 上的另一点,且AB∥x轴,则以AB为边的等边 (1)求a的值; 三角形ABC的周长为 (C) (2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物 线上,试比较y1与y2的大小 解:(1)把(1,-2)代入y=a(x-3)2+2,得 C.18 2=a(1-3)2+2,解得a=-1 (2)由(1)知a=-1, 则原抛物线为y=-(x-3)2+2 11.★(资阳雁江区模拟)当-2≤x≤1时,二次函数 其开口方向向下,对称轴为直线x=3, y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的 ∴当x<3时,y随x的增大而增大 值为 (C) 又∵m<n<3, B.3或-√3 4 C.2或-√3 D.2或或-7 12九年级数学下·HS
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12.如图,抛物线 (x+1)2+1 点A'的坐标为(1,3) ∴点A为该函数图象的顶点 与y2=a(x-4)2-3交于点A (1,3),过点A作x轴的平行线 分别交两条抛物线于B,C两点 C思维拓展冲刺满分 且D,E分别为顶点.下列结论:①a=;②若连15.如图,已知抛物线y=a(x-1)2-3(a≠0)与y轴 接AE,则AC=AE;③若连接AD,BD,则△ABD 交于点A(0,-2),顶点为B 是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2.其中正 (1)试确定a的值,并写出B点的坐标; 确的结论是①③(填序号) (2)若一次函数的图象经过A,B两点,试求出 13.如图所示是二次函数y=a(x+1)2+2图象的一 次函数的表达式; 部分,根据图象解答下列问题 (3)试在x轴上求一点P,使得△PAB的周长取 (1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(-3, 最小值 0),则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标 解:(1)把A(0,-2)代人y=a(x 为(1,0); -1)2-3,得-2=a(0-1)2 (2)确定a的值 3,解得a=1. ∵B为顶点, (3)设抛物线的顶点为P,试求△PAB的面积 ∵.B点的坐标为(1,-3) 解:(2)由(1)可知,当x=-3 (2)设一次函数的表达式为y 时,y=0,即a(-3+1)2+2 =kx+b,将A,B两点的坐标代入表达式,得 解得 3=k+b b=-2 (3)∵AB=1-(-3)=4,点 ∴一次函数的表达式为y=-x-2 P的坐标为(-1,2), (3)如图,将A点关于x轴的对称点记作E,则E △PAB的边AB上的高为2 点的坐标为(0,2).连接EB交x轴于点P,则P点 即为所求,连接PA,PB.设过E,B两点的直线所 S△BB=×4×2=4 对应的一次函数表达式为y=mx+n,代入E(0 2),B(1,-3),得 14.如图,已知二次函数y=a(x-h)2+3的图象经 ∴直线BE所对应的一次函数表达式为y=-5x 过O(0,0),A(2,0)两点 (1)写出该函数图象的对称轴; +2.当y=0时,x (2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA, ∴P点的坐标为(÷,0).这时△PAB的周长取最 试判断点A是否为该函数图象的顶点 小值 3的图象经过原点O(0,0) A(2,0), @错 ∴抛物线的对称轴为直线x=1. B (2)点A是该函数图象的顶 方法归纳 点,理由如下: 第11题考查利用二次函数的最值求字母系数 由(1)可知抛物线的对称轴为直线x=1, 的值,要求m的值应分三种情况讨论:①m ∴抛物线所对应的二次函数表达式为y=a(x- <-2;②-2≤m≤1;③m>1.应该特别注 1)2+3,将(0,0)代入,可得a=-√3, 意y=-(x-m)2+m2+1与y=-(x m)2+m2+1(-2≤x≤1)自变量的取值范 y=-3(x-1)2+3,顶点坐标为(1,3) 围不同,是两个不同的二次函数,在讨论函 作A'B⊥x轴于点 数的最值问题时,一定要注意函数自变量 线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA 的取值范围以及函数在这个取值范围内的 OA'=OA=2,∠AOA=60 增减性 在Rt△A'OB中,∠OA'B=30°, 错题序号 OB=÷OA=1, 易错笔记 A'B=√3OB= 第26章二次函数13
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