例1.3再解例1.1,方程组对应的同解阶梯方程组为 2x1-x2+3x3=1 3x3=-18 r=3=n,有唯一解 经回代,知x=-6,x2=-1,x-9
例1.3 再解例1.1, 方程组对应的同解阶梯方程组为 2x1−x2+3x3=1, x2 −x3=5, 3x3= −18. r=3=n, 有唯一解. 经回代，知 x3= −6, x2= −1, x1=9
2x1-x2+3x2=1 例14解方程组:{4x-2x2+5x3=4 2x1-x2+4x2=-1 解:经初等变换,得 2x1-x+3x2=1
2x1−x2+3x3=1, 4x1−2x2+5x3=4, 2x1−x2+4x3=−1. 例1.4 解方程组： 解：经初等变换，得 2x1−x2+3x3=1, −x3 x3 =2, = −2
2x1-x2+3x3=1, 0=0 2x1+3 3-2 0=0 2<3=n.d1=0.有无穷解 其中x2为自由变量 x1=(7+x2)2
2x1−x2+3x3=1, −x3=2, 0 2x1 +3x3 −x2=1, −x3 =2, 0=0. r=2 < 3=n. dr+1=0. 有无穷解. x3= −2, x1=(7+x2 )/2, 其中x2为自由变量. (1.5) =0
还可以看出,(1.5)也可变为 2x1-x2+3x3=1 (15) -x2+3x3+2x1=1, 0=0 X 其中x1为自由变量 7+2x 即自由变量不唯一
还可以看出，(1.5)也可变为 −x2 +3x3 +2x1=1, −x3 =2, 0=0. x3= −2, x2= −7+2x1 , 其中 x1 为自由变量. 即自由变量不唯一. 2x1−x2+3x3=1, −x3=2, 0 (1.5) =0
定理L1线性方程组(1可经初等变换化 为阶梯形方程组(变量次序可能不同) C1x1+c12x2+….+C1x+.+C1nxn=d12 22x2+.+C2r+. +C2rn-d2 +.+cnx,=dn(1.4) 0= r+1 0=0 其中c1≠0,÷=1,2,…,r, 且()(1.1)有解←→d1=0 (I)(1.1)有唯一解←→d+1=0,r=n (I)(1.1)有无穷解←→dr+1=0,r<n
定理1.1 线性方程组 (1.1), 可经初等变换化 为阶梯形方程组(变量次序可能不同）: c11x1+c12x2+…+c1rxr+…+c1nxn =d1 , c22x2+…+c2rxr+…+c2nxn =d2 , crrxr+…+crnxn =dr , 0=dr+1 , 0=0. (1.4) 其中 cii0, i=1, 2, …, r, 且 (I) (1.1)有解 dr+1 = 0 (II) (1.1)有唯一解 dr+1 = 0，r=n. (III) (1.1)有无穷解dr+1 = 0，r<n