零级近似 取ΔV=0,即均匀势场的情况,电子是完全自由的,波函数和能量本 征值是 vk(=delkr 九2 E 2m 应用玻恩冯卡门边界条件y(行)=y(F+N2a),得到 Nk·a=2mh;,讠=1,2,3 可取波矢 k =i bit b2 +i b3 b1,b2,b3为倒格矢
零级近似 • 取Δ𝑉𝑉 = 0，即均匀势场的情况，电子是完全自由的，波函数和能量本 征值是 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁Ω 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑟𝑟⃗ 𝐸𝐸0 𝑘𝑘 = ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 应用玻恩-冯卡门边界条件𝜓𝜓𝑘𝑘 0 𝑟𝑟 ⃗ = 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 𝑟𝑟 ⃗ + 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑎𝑎 ⃗ 𝑖𝑖 ，得到 𝑁𝑁𝑖𝑖𝑘𝑘 � 𝑎𝑎 ⃗ 𝑖𝑖 = 2𝜋𝜋ℎ𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1,2,3 可取波矢 𝑘𝑘 = ℎ1 𝑁𝑁𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖 + ℎ2 𝑁𝑁2 𝑏𝑏2 + ℎ3 𝑁𝑁3 𝑏𝑏3 𝑏𝑏1, 𝑏𝑏2, 𝑏𝑏3为倒格矢
零级近似 于是k只能取分立值,每一个k在动量空间中所占的体积 (*) (2丌) N1N2N3 NQ2 由于M是一个大数,k在动量空间准连续,均匀分布,其密度为A 证明波函数满足正交归一条件 ∫yC(⑦)yp(dF=6k g(%G)=6(7-;)
零级近似 • 于是𝑘𝑘只能取分立值，每一个𝑘𝑘在动量空间中所占的体积 𝑏𝑏1 𝑁𝑁1 � 𝑏𝑏2 𝑁𝑁2 × 𝑏𝑏3 𝑁𝑁3 = Ω∗ 𝑁𝑁1𝑁𝑁2𝑁𝑁3 = 2𝜋𝜋 3 𝑁𝑁Ω 由于𝑁𝑁Ω是一个大数，𝑘𝑘在动量空间准连续，均匀分布，其密度为 𝑁𝑁Ω 2𝜋𝜋 3 • 证明波函数满足正交归一条件 ∫ 𝜓𝜓𝑘𝑘′ 0 ∗ 𝑟𝑟 ⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 𝑟𝑟 ⃗ 𝑑𝑑𝑟𝑟 ⃗ = 𝛿𝛿𝑘𝑘′,𝑘𝑘 � 𝑘𝑘 𝜓𝜓𝑘𝑘′ 0 ∗ 𝑟𝑟 ⃗ 𝜓𝜓𝑘𝑘 0 𝑟𝑟 ⃗ = 𝛿𝛿 𝑟𝑟 ⃗ − 𝑟𝑟 ⃗′
非简并微扰(试0=0+ 将波函数改写为 1 yk(7) alkene a(k+kh)(ktkn) r √N9 九≠0 (4.2.13) 2m +)2-E小+)+v(x-k)(+ h≠h 设△是小量,则除了a(k)≈1,其他a(k+Rn)都是小量 因为所有V(Kn-Kn)都是小量,在确定待定系数的方程中,仅保留一级小量,并用 E0(k)=2k2代替E(k) (k+kn) kla(k+kn)+V(K 由此求得 (k+ kn)=k2 V h 2m(k2-(+Rn)2)
非简并微扰（试） • 将波函数改写为 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟⃗ = 1 𝑁𝑁Ω 𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑟𝑟⃗ + 1 𝑁𝑁Ω� ℎ≠0 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘+𝐾𝐾ℎ)�𝑟𝑟⃗ (4.2.13) ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ + � ℎ′≠ℎ 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ − 𝐾𝐾ℎ’ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ‘ =0 设Δ𝑉𝑉是小量，则除了𝑎𝑎 𝑘𝑘 ≈ 1，其他𝑎𝑎(𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ)都是小量 因为所有𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ − 𝐾𝐾ℎ′ 都是小量，在确定待定系数的方程中，仅保留一级小量，并用 𝐸𝐸0 𝑘𝑘 = ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2代替𝐸𝐸 𝑘𝑘 ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ + 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ = 0 由此求得 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ = 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 − (𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ )2 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁Ω� ℎ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑘𝑘+𝐾𝐾ℎ �𝑟𝑟⃗
非简并微扰 级近似波函数 e e e √Ng √Ns 九≠0 k+ K m 其中 1+∑n V(K h e 九 九≠0 m 它满足uk(F+R1)=uk() 能量本征值的二级近似解(可试) E k2+ 2 九≠0 2m K
非简并微扰 • 一级近似波函数 𝜓𝜓𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 1 𝑁𝑁Ω 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑟𝑟⃗ + � ℎ≠0 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 − 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 𝑒𝑒𝑖𝑖(𝑘𝑘+𝐾𝐾ℎ)�𝑟𝑟⃗ = 1 𝑁𝑁Ω 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑟𝑟⃗ 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ 其中 𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ = 1 + � ℎ≠0 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 − 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 𝑒𝑒𝑖𝑖𝐾𝐾ℎ�𝑟𝑟⃗ 它满足𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑟𝑟 ⃗ + 𝑅𝑅𝑙𝑙 = 𝑢𝑢𝑘𝑘(𝑟𝑟 ⃗) • 能量本征值的二级近似解（可试） 𝐸𝐸 𝑘𝑘 = ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 + � ℎ≠0 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ 2 ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 − 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2
4213) +)-(1+)+风=)+M)o Kn=0;h换为h +)-2+v()(+) (-Kn)=V(n) k2+2 (k2-(+R2)
(4.2.13) ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ + � ℎ′≠ℎ 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ − 𝐾𝐾ℎ‘ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ’ =0 𝐾𝐾ℎ = 0; ℎ′ 换为ℎ ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2 − 𝐸𝐸 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + � ℎ≠0 𝑉𝑉 −𝐾𝐾ℎ 𝑎𝑎 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ =0 𝑎𝑎 𝑘𝑘 ≅ 1，𝑉𝑉 −𝐾𝐾ℎ = 𝑉𝑉∗ 𝐾𝐾ℎ 𝐸𝐸 𝑘𝑘 = ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 + � ℎ≠0 𝑉𝑉 𝐾𝐾ℎ 2 ℏ2 2𝑚𝑚 𝑘𝑘2 − 𝑘𝑘 + 𝐾𝐾ℎ 2