§2.7 Gramer法则
§2.7 Gramer法则
行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用, 对于二元一次和三元一次方程组,当方程组的系数行列式不 为0时,方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组,相应 的结论也成立,这就是下面要介绍的 Gramer法则。 设n元一次线性方程组为 x1+a12X+…+a1nX b al1X1+a2x+…+a2,xn= b2 anx+an2x2+.+amiN=b b.∈F 12 称D 为这个方程组的系数行列式。 第二章行列式
第二章 行列式 行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用， 对于二元一次和三元一次方程组，当方程组的系数行列式不 为0时，方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组，相应 的结论也成立，这就是下面要介绍的Gramer法则。 设n元一次线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = —（1） , , , 1, 2, , ij i a b F i j n = 称 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 为这个方程组的系数行列式
把D中的第j列换成常数列b,b2,…b后所得行列式记为 D=bA,+b2421+…+b,An,j=1,2 定理2.7.1( Gramer法则): 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0,则这个方程组 D D 有唯一解,其解为:x1 D D (2) 其中D,是把D中的第列元素换成常数项h,b2…,bn所得的 行列式,j=1,2,…,n 第二章行列式
第二章 行列式 把D中的第j列换成常数列 1 2 , , , n b b b 后所得行列式记为 11 1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 2 1 2 1 1 1 j j n j j n j n nj n nj nn a a b a a a a b a a D a a b a a − + − + − + = 则 1 1 2 2 , 1, 2, , D b A b A b A j n j j j n nj = + + + = 定理2.7.1 （Gramer法则）： 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0 有唯一解，其解为： ，则这个方程组 1 2 1 2 , , , n n D D D x x x D D D = = = —（2） 其中 Dj 是把D中的第j列元素换成常数项 1 2 , , , n b b b 所得的 行列式， j n =1, 2,
该定理包括三个结论: ●方程组在D≠0时有解; ●解是唯一的; 解由公式(2)给出。 这三个结论相互之间有联系,因此证明的步骤是: 1、把(2)代入方程组,验证它是方程组(1)的解; 2、假设方程组有解,则它的解必可由公式(2)给出。 证:把方程组简写成∑anx1=b2=12…,n 首先证明公式(2)确是方程组(1)的解。把 ,=1,2,…,n代入第个方程得: D ∠ DD 第二章行列式
第二章 行列式 该定理包括三个结论： ⚫ 方程组在 D 0 时有解； ⚫ 解是唯一的； ⚫ 解由公式（2）给出。 这三个结论相互之间有联系，因此证明的步骤是： 1、把（2）代入方程组，验证它是方程组（1）的解； 2、假设方程组有解，则它的解必可由公式（2）给出。 证：把方程组简写成 1 , 1, 2, , n ij j i j a x b i n = = = 首先证明公式（2）确是方程组（1）的解。把 , 1, 2, , j j D x j n D = = 代入第i个方程得： 1 1 1 n n j ij ij j j j D a a D = = D D =
D4(4+41+…+b4) D4a(b4+4+x+)+.24+b4+…+b42) +…+an(的A,+b2A+…+b4m) D [b(an41+a242+…+anAn)+…+b(an141+a212+…+an41) +…+bn(a1An1+ +∴+a.A -bD D b.i=1.2 因此 =1,2,…,n确是方程组(1)的解 D 再证方程组(1)的解必由公式(2)给出。设 x=k1,x2=k2,…xn=kn是方程组(1)的任一解, 第二章行列式
第二章 行列式 ( 1 1 2 2 ) 1 1 n ij j j n nj j a b A b A b A D = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 21 1 2 1 12 2 22 2 1 1 2 2 1 i n n i n n in n n n nn a b A b A b A a b A b A b A D a b A b A b A = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 12 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 i i in n i i i i i in in n i n i n in nn b a A a A a A b a A a A a A D b a A a A a A = + + + + + + + + + + + + + 1 i b D D = , 1, 2, , i = = b i n 因此 , 1, 2, , j j D x j n D = = 确是方程组（1）的解。 再证方程组（1）的解必由公式（2）给出。设 1 1 2 2 , , , n n x k x k x k = = = 是方程组（1）的任一解