广东第二师范学院：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件）第二章 一阶微分方程的初等解法 2.3 恰当方程与积分因子

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 证明 “必要性”设(1)是恰当方程, 则有函数u(x, y),使得 dy y u dx x u du x y   +   ( , ) = = M (x, y)dx + N(x, y)dy 故有 M (x, y), x u =   N(x, y) y u =   从而 2 , M u y y x   =    2 . N u x x y   =    由于 和 都是连续的,从而有 2 2 x y u y x u       , 2 2 x y u y x u    =    故 . ( , ) ( , ) x N x y y M x y   =  

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 “充分性” ， x N x y y M x y   =   ( , ) ( , ) 若 从(5)出发,把y看作参数,解这个方程得 则需构造函数u(x, y),满足 du(x, y) = M (x, y)dx + N(x, y)dy, (4) 即应满足 M (x, y), (5) x u =   N(x, y), (6) y u =    u(x, y) = M (x, y)dx +( y)

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 这里(y)是y的任意可微函数, =   y u 因此    = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 下面证明(7)的右端与x无关, 即对x的偏导数常等于零 事实上 [ ( , ) ]    −   M x y dx y N x [ ( , ) ]      −   = M x y dx x x y N N(x, y), (6) y u =   下面选择(y),使u同时满足(6),即  +   dy d y M x y dx y ( ) ( , )  = N  u(x, y) = M (x, y)dx +( y)

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 [ ( , ) ]      −   = M x y dx x y x N y M x N   −   =  0. 于是,(7)右端的确只含有y,积分之得 ( ) [ M (x, y)dx]dy, y y N      = − 故  u(x, y) = M (x, y)dx [ M (x, y)dx]dy, y N     + − (8) 即u(x, y)存在,从而(1)为恰当方程。    = − ( , ) (7) ( ) M x y dx y N dy d y 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 M x y dx dy c c为任常数 y M (x, y)dx [N ( , ) ] = ,   + −   

《常微分方程》 教学课件 广东第二师范学院 首页 上一页 下一页 结束 二、恰当方程的求解 1 不定积分法 . 1 ( , ) ( , ) 0 , 0 若是进入下一步 判断M x y dx + N x y dy = 是否为恰当方程  2 u(x, y) = M (x, y)dx + ( y)， 0 求  3 ( , ) ( ). 0 N x y y y u 由 = 求   例1 验证方程 (e + y)dx + (x − 2sin y)dy = 0 x 是恰当方程,并求它的通解