y y y x Ox CK T y 任意斜截面上的应力 在单元体上取任意斜截面如图,分别以斜截面法线方向N和 切线方向T为参考坐标,列平衡方程∑N=0、∑T=0得 CadAa-OxdA-cosa-0ydAysina+TxdAxsina+ ty dAy cosa=0( 1) EadAa-OzdAx sina+OydAy cosa-txdAz cosa+tydAysina=0 (2) 式中,dAx= dAa cos o,dAy= dAc sin a (3) 由τx=ry,把(3)分别代入(1)、(2),利用倍角公式化简得: Ox=uxt ay Ox-Oy 2 2 COS 2a-T3sin 2a RSE- 2 snc4τcos2c 利用以上两式可以计算任意截面上的未知应力a、τa
二向(平面)应力状态分析——解析法 sx 等价 txy sy x y z x y sx txy sy O
由以下两式可知,斜截面上的aa、τa都是α的周期函数,必有极值。 00x+0y 2-cos2c-τxSin20 (10-1) 0x=O 2 sinza+Icos 2a (10-2) 为求正应力的极值,令 do da“=0,即: dσ 0x-0 dα sin 2a +tacos 2a)=0(10-3) 2 得:tan2600x-6y (10-4) 在0-2π范围内,由上式给出两个倾角∝o与α0+90°,可确定两个互相垂直 的平面,分别是最大、最小正应力所在的平面。由10-4)求出sin2x coS2a的值,代入(10-1),即可求出最大、最小正应力分别为: O+0.+ max +2 min 比较(10-2)与(10-3)可知最大、最小正应力作用平面上的剪应 力必为零。满足此条件者是主平面,Gmax、Omim为两个主应力
二向(平面)应力状态分析——解析法 sx 等价 txy sy x y z x y sx txy sy O 2 1 max 2 2 min 2 2 x y x y x s s s s s s t s s + − + = = + − 比较(10 – 2 )与(10 – 3)可知,最大、最小正应力作用平面上的剪应 力必为零。满足此条件者是主平面，smax 、smin 为两个主应力
工程中构件上的各点,大多为二向应力状态,二向应力状态主应力的 计算公式为 O.+0+‖0.-0 max 2 min 正负号规定 正应力一σ与截面外法线同向为正;反向为负.即拉应力正压应 力为负 剪应力—τ与截面外法线顺时针转90°方向一致为正,反之为负 最大剪应力计算公式 O max min
工程中构件上的各点,大多为二向应力状态,二向应力状态主应力的 计算公式 为 2 1 max 2 2 min 2 2 x y x y x s s s s s s t s s + − + = = + − 正负号规定 正应力-- s与截面外法线同向为正；反向为负.即拉应力正,压应 力为负. 剪应力−− t与截面外法线顺时针转90方向一致为正,反之为负. 最大剪应力计算公式 2 2 max min 1 2 max 2 2 2 x y x s s s s s s t t − − − = + = =
极值剪应力面与主平面的关系 tan 2a= 0=a1+,即极值剪应力面与主面成450
极值剪应力面与主平面的关系 0 2 tan 2 x x y t s s = − − 0 0 1 , 45 4 即极值剪应力面与主面 成 = + x y sx txy sy O sy txy sx s t x y O t n
3最大剪力及其作用面令4n=0,即 da=2(2cm.ksin2x)=0(10-6) da 0x可 tw/s2u 得: (10-7) 由(10-7)可得到两个烦角c1与ax1+90°,确定两个互相垂直的平面 分别为最大、最小剪应力所在平面。由(10-7)求出sn2c1、0082a1 代入(10-2)得最大、最小剪应力分别为: L邮 =士}(①x0)2+x2(10-8) Tmin 比较(10-4)与(10-7),可知: 1m红 an2a=-tn2a1,所以a1=ao±45经判断, IapS m ClImax= Co mm 450, a1 min=Co min45 即最大剪应力作用,由最大主应力作用面逆时针兼转45°得到 比较(10-4)与(10·7),可知: Imar ± 0max-Omin 即最大剪应力等于主应力最大值与最小值之差的一半 t min
极值剪应力面与主平面的关系 0 2 tan 2 x x y t s s = − − 0 0 1 , 45 4 即极值剪应力面与主面 成 = + x y sx txy sy O sy txy sx s t x y O t n