5.3平行线的性质 5.3.1平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直 线平行.反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什么 关系呢？这就是我们下面要学习的平行线的性质. 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条 直线截得的同位角的关系。 ①探究 如图5.3-1，利用坐标纸上的直线，或者用直 尺和三角尺画两条平行线a∥b,然后，画一条截线 c与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度 数，把结果填入下表： 角 ∠1∠2∠3∠4 度数 ∠5∠6∠7 ∠8 度数 图5.3-1 ∠1，∠2，.，∠8中，哪些是同位角？它们 的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第 三条直线截得的同位角有什么关系 再任意画一条截线d,同样度量并比较各对同 位角的度数，你的猜想还成立吗？ 一般地，平行线具有性质： 性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等， 简单说成：两直线平行，同位角相等。 18第五章相交线与平行线
公思考 上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相 等，两直线平行”，类似地，你能由性质1，推出两条平行线被第三条直 线截得的内错角之间的关系吗？ 如图5.3-2，直线a∥b,c是截线.根据“两 直线平行，同位角相等”，可得∠2=∠3.而∠3 和∠1互为对顶角，所以∠3=∠1.所以∠1 ∠2.这样，我们就得到了平行线的另一个性质： 性质2两条平行线被第三条直线所截，内错 角相等。 图5.3-2 简单说成：两直线平行，内错角相等 类似地，由“两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于同旁 内角的性质（请你自己完成推理过程）： 性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 例1图5.3-3是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115, 梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：因为梯形上、下两底AB与DC互相平行， D 根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与 ∠D互补，∠B与∠C互补. 于是 ∠D=180°-∠A=180°-100°=80°， 图5.3-3 ∠C=180°-∠B=180°-115°=65° 所以梯形的另外两个角分别是80°，65 第五章相交线与平行线19
练习 1.如图，直线a∥b,∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度！ (第1题) (第2题) 2.如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°， ∠B=60°，∠AED=40° (I)DE和BC平行吗？为什么？ (2)∠C是多少度？为什么？ 5.3.2命题、定理、证明 前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如： (1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补： (3)对顶角相等； (4)等式两边加同一个数，结果仍是等式 像这样判断一件事情的语句，叫做命题(proposition).命题由题设和结 论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 数学中的命题常可以写成“如果.那么.”的形式，这时“如果”后 接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.例如，上面命题(1)中，“两 条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论， 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析 才能找出题设和结论，从而将它们写成“如 0 果.那么.”的形式.例如，命题“对顶角 请你将命题(2) 相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这 (4)改写成“如果. 那么”的形式 两个角相等” 20第五章相交线与平行线
上面所举出的命题都是正确的.就是说，如果题设成立，那么结论一定成 立，这样的命题叫做真命题，还有一些命题，如“如果两个角互补，那么它们 是邻补角”“如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除”等，这些命题中， 题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题 练习 1.指出下列命题的题设和结论： (1)如果AB⊥CD,垂足为O,那么∠AOC=90°； (2)如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3； (3)两直线平行，同位角相等 2.举出学过的2~3个真命题 在前面，我们学过的一些图形的性质，都是真命题.其中有些命题是基本 事实，如“两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行”等还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行” 等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理(theo rem).定理也可以作为继续推理的依据， 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过 程叫做证明(proof).下面，我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直 于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明 例2如图5.3-4，已知直线b∥c,a⊥b.求 证a⊥c. 证明：a⊥b(已知)， 证明中的每一步 .∠1=90°（垂直的定义） 推理都要有根据，不 又b∥c(已知)， 能“想当然”.这些根 据，可以是已知条件 ∴.∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. 也可以是学过的定义 ∴.∠2=∠1=90°（等量代换） 基本事实、定理等 ∴.a⊥c(垂直的定义) 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反 例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 第五章相交线与平行线21
图5.3-4 图5.3-5 例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 图5.3-5中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角. 练习 1.在下面的括号内，填上推理的根据。 如图，∠A十∠B=180°，求证∠C+∠D=180° 证明：，∠A十∠B=180, .AD∥BC ∴.∠C+∠D=180°( (第1题) 2.命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例。 习题5.3 复习巩固 1.如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同.如果第一次的拐角∠A是 135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？ (第1题) (第2题) 2.如图，在四边形ABCD中，如果AD∥BC,∠A=60°，求∠B的度数.不用度量 的方法，能否求得∠D的度数？ 3.如图，平行线AB,CD被直线AE所截. (1)从∠1=110°可以知道∠2是多少度？为什么？ 22第五章相交线与平行线