上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式： 因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义）， 所以∠1=∠3（同角的补角相等）. 例1如图5.1-3，直线a,b相交，∠1=40°， 求∠2，∠3，∠4的度数. 解：由邻补角的定义，得 ∠2=180°-∠1=180°-40°=140°； 由对顶角相等，得 图5.1-3 ∠3=∠1=40°， ∠4=∠2=140°. 练习 如图，取两根木条a,b,将它们钉在一起，并把它们想象成两 条直线，就得到一个相交线的模型.你能说出其中的一些邻补 角与对顶角吗？两根木条所成的角中，如果∠α=35°，其他三 个角各等于多少度？如果∠a等于90°，115，m呢？ 5.1.2垂线 在相交线的模型（上面练习插图）中，固定木条a,转动木条b.当b的位 置变化时，a,b所成的∠a也会发生变化.当∠a=90时（图5.1-4），我们 说a与b互相垂直(perpendicular),记作aLb. 图5.1-4 图5.1-5 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线(perpendicular line),它们的交点叫做垂足(foot of a per pendicular).在图5.1-5中，AB⊥CD,垂足为O 第五章相交线与平行线3
根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直 线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°， 那么这两条直线垂直.图5.1-5中，如果直线 反过来，如果 AB,CD相交于点O,∠AOC=90°，那么AB] AB⊥CD,那么 CD.这个推理过程可以写成下面的形式： ∠AOC是多少度？ 因为∠AOC=90°， 所以AB⊥CD(垂直的定义) 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常 见，说出图5.1-6中的一些互相垂直的木条。你 能再举出其他例子吗？ 图5.1-6 心探究 如图5.1-7. (1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线1上一点A画L的垂线，这样的垂线能画出几条？ (3)经过直线1外一点B画（的垂线，这样的垂线能画出几条？ 。,。 图5.1-7 4第五章相交线与平行线
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只 能画出一条垂线.即 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 练习 1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ 2.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。如图，请你过，点P画 出射线AB或线段AB的垂线. .P P A P B B (1) (2) (3) (第2题) 思考 如图5.1-8，在灌溉时，要把河中的水引 到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 图5.1-8 ①探究 如图5.1-9，连接直线1外一点P与直线 1上各点O,A1,A2,A,.,其中PO⊥1（我 们称PO为点P到直线L的垂线段).比较线段 PO,PA1,PA2,PA3,.的长短，这些线段 .A4 A3 A2 Ai O 中，哪一条最短？ 图5.1-9 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 简单说成：垂线段最短 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， 第五章相交线与平行线5
现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在图5.1-8中画出来.如果图中比例尺 为1：100000，水渠大约要挖多长？ 练习 如图，三角形ABC中，∠C=90° (I)分别指出点A到直线BC,点B到直线AC的距 离是哪些线段的长； (2)三条边AB,AC,BC中哪条边最长？为什么？ 5.1.3同位角、内错角、同旁内角 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交 的情形，接下来，我们进一步研究一条直线与两 条直线分别相交的情形 如图5.1-10，直线AB,CD与EF相交（也 可以说两条直线AB,CD被第三条直线EF所 截)，构成八个角.我们看那些没有公共顶点的 图5.1-10 两个角的关系. 先看图中的∠1和∠5，这两个角分别在直线 ∠2和∠6是同 AB,CD的同一方（上方），并且都在直线EF的 位角吗？图中还有 同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同 没有其他的同位角？ 若有，标记出它们. 位角(corresponding angles). 再看∠3和∠5，这两个角都在直线AB,CD 之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在直线EF 左侧，∠5在直线EF右侧)，具有这种位置关系 图中还有没有 其他的内错角与同 的一对角叫做内错角(alternate interior angles). 旁内角？若有，标 图中∠3和∠6也都在直线AB,CD之间，但它 记出它们. 们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关 系的一对角叫做同旁内角(interior angles on the same side). 6第五章相交线与平行线
例2如图5.1-11，直线DE,BC被直线 AB所截. 23 (1)∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是 什么位置关系的角？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？ 图5.1-11 ∠1和∠3互补吗？为什么？ 答：(1)∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角， (2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2. 因为∠4和∠3互补，即∠4十∠3=180°，又因为∠1=∠4，所以∠1+ ∠3=180°，即∠1和∠3互补. 练习 1.分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角 / 2 234 (1) (第1题) (第2题) 2.如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线 被哪一条直线所截形成的？对∠C进行同样的讨论 习题5.1 复习巩固 1.下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角？ (1) 3 (第1题》 第五章相交线与平行线7