关于定积分的概念,还应注意两点: (1)定积分f(x)dx是积分和式的极限,是一个数值 定积分值只与被积函数x)及积分区间a,b有关, 而与积分变量的记法无关即有 raf(x dx=a f(odt=a f(u)du (2)在定积分f(的定义中,总假设a为了 今后的使用方便,对于a=b,a>l作如下规定: 当a=b时,f(xAx=0; 当a>b时,f(xx=-0(xkx 页后页结束
前页 后页 结束 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值， 定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关， 而与积分变量的记法无关.即有 ( )d ( )d ( )d . = = b a b a b a f x x f t t f u u f x x b a ( )d (2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定： f x x b a ( )d a b a = b，a b , ( )d ( )d . ( )d 0 a b f x x f x x a b f x x b a a b b a = − = = 当 时 当 时， ；
51.3定积分的几何意义: 如果在a6上f(x)≥0,则f(x)d在几何上表 示由曲线y=x),直线x=a,x=b及 y=f(r) x轴所围成的曲边梯形的面积 如果在a,b上f(x)≤0,此时oa b x 由曲线x),直线x=,x=b及”a x轴所围成的曲边梯形位于x轴的 下方,则定积分f(xu在几何 y=f(r) 上表示上述曲边梯形的面积4的相反数 页后页结束
前页 后页 结束 如果在[a,b]上 ，此时 由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形位于x轴的 下方，则定积分 在几何 上表示上述曲边梯形的面积A的相反数. 5.1.3 定积分的几何意义： 如果在[a,b]上 ，则 在几何上表 示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x轴所围成的曲边梯形的面积. f (x) 0 b a f (x)dx f x( ) 0 ≤ ( )d b a f x x a x y f x = ( ) o y b a x y f x = ( ) o y b
如果在4,b上fx)既可取正值又可取负值,则定 积分m/(x)d在几何上表示介于曲线=/(),直线 x=a,x=b及x{轴之间的各部分面积的代数和 y=f() b 0 ∫(x)dx=(4+4)-(4+4)=4-42+4-A f( dx 前页后页结束
前页 后页 结束 如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定 积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和. b a f (x)dx 1 3 2 4 ( )d ( ) ( ) b a f x x A A A A = + − + = − + − A A A A 1 2 3 4 x y= f (x) a b o y A4 A3 A2 A1 = ( ) d b a A f x x
514定积分的基本性质 设下面函数f(x),月(x),g(x)在a,b上可积 性质1两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和,即「U(x)+g(x)dx=f(xx±g(x)dx 推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积 分的代数和,即 If1(x)±f2(x)±…±fn(x)dx b b f1(x)dx±f2(x)d+…±f(x)dx 页后页结束
前页 后页 结束 性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数 和，即 [ ( ) ( )]d ( )d ( )d = b b b a a a f x g x x f x x g x x 5.1.4 定积分的基本性质 设下面函数f (x)， fi (x)， g(x)在[a,b]上可积. 推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积 分的代数和，即 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( )]d ( )d ( )d ( )d . = b n a b b b n a a a f x f x f x x f x x f x x f x x
性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外 (x)dx=km/(x)x(k是常数 性质3如果积分区间a,b被分点分成区间a,c和c,bl 则 b b f(xdx= f(x)dx+I f(x)dx C 当c在区间,b之外时,上面表达式也成立 性质3表明定积分对积分区间具有可加性,这个 性质可以用于求分段函数的定积分 页后页结束
前页 后页 结束 如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b], 则 ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = + 性质3 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分. 当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立. 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外. kf (x)dx k f (x)dx (k是常数). b a b a =