(3)求和 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来即得到 在区间[a上所做功的近似值即 W=∑AW∑FS (4)取极限 把所有小区间的最大长度记为元,即A=max(△s;), 则当A→0时和式的极限即为变力在区间[a,b上对质点 所做的功,即 W=lim∑F(5)△s 页后页结束
前页 后页 结束 (3)求和 1 1 ( ) = = = n n i i i i i W W F S 把各小区间上力F所做的功的近似值加起来,即得到 在区间 a b, 上所做功的近似值,即 (4)取极限 把所有小区间的最大长度记为 ,即 , 则当 时,和式的极限即为变力在区间 上对质点 所做的功,即 max( )i = s → 0 a b, 0 1 lim ( ) n i i i W = F s → =
512定积分的概念 定义设函数f(x)在[a,b上有界,在a,b中任意插入n-1 个分点 a=x<x1<x<.<x.<x=b 把区间a,b分成n个小区间 n-12n 各个小区间的长度为 在每一个小区间x12x:正上任取一点51(x-1≤5≤x 作和式简称积分和式)∑f()Ax 页后页结束
前页 后页 结束 5.1.2 定积分的概念 [ , ],[ , ], ,[ , ], ,[ , ] [ , ] : : ( ) [ , ] [ , ] 1 0 1 1 2 1 1 0 1 2 1 i i n n n n x x x x x x x x a b n a x x x x x b f x a b a b n − − = − = − 把区间 分成 个小区间 个分点 定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入 ( ), i i 1 i i x x 在每一个小区间 上任取一点 − 各个小区间的长度为 [ , ] 1 1 i i i i i x x x x x − = − − = n i i i f x 1 作和式(简称积分和式) ( )
记=max{△x1,Ax2…,Axn},如果对区间a,b任一分法 和小区间x=12x上点任意取法,只要当λ→>O时,上 述和式的极限都存在且相等,则称此极限为函数f(x) 在区间ab]上的定积分(简称积分),记作 (x)=∑(5A△, 其中x)叫做被积函数,fx)dx叫做被积表达式,x叫 做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b 叫做积分区间 前页后页结束
前页 后页 结束 在区间 上的 ，记作 述和式的极限都存在且相等，则称此极限为函 数 和小区间 上点 任意取法，只要当 时，上 记 ，如果对区间 任一分法 [ , ] ( ) [ , ] 0 max{ , ,..., } [ , ] 1 2 a b f x x x x x x a b i i i i n → = − 定积分(简称积分) 0 1 ( )d lim ( ) , n b i i a i f x x f x → = = 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x 叫 做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b] 叫做积分区间
根据定积分的定义,前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述: 曲线f(x)(f(x)≥0)、x轴及两条直线x=a=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积 分,即 A=f(xide 页后页结束
前页 后页 结束 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即 f (x)( f (x) 0) A f (x)dx. b a =
质点在变力Fs)作用下作直线运动,由起始位置 n移动到b,变力对质点所做之功等于函数F(s)在a,b 上的定积分,即 w= F(s)ds 如果函数f(x)在区间a上的定积分存在, 则称函数/(x)在区间a,b上可积 可以证明若函数f(x)在在区间[a,b上连续,或只有有 限个第一类间断点则f(x)在在区间[an,b上可积 页后页结束
前页 后页 结束 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在， 则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置 a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即 = ( )d b a W F s s 可以证明:若函数f (x)在在区间[a,b]上连续,或只有有 限个第一类间断点,则f (x)在在区间[a,b]上可积