化关于刚体轴v、么的操作为关于空间固定轴的操作y与y差α角，绕y转β角可等价为：先用R(-α)将y转回到y，然后绕y转β角,再将y转回到y轴，即R,(β)=R,(α)R,(β)R_I(α)上式左右两边对y轴效果自然相同，对z>z"(z)的操作也相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。类似可证： R,()=R(β)R,()R_(β)于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为：R,()R,(β)R(α)=R,(β)R,()R_"(β)Ry(β)R,(α)= R,(α)R,(β)R,(α)R,()R,(α)= R,(α)R,(β)R,(),-即: R(α,β,)=R,(α)R,(β)R,()
◼ y’与y差α角，绕y’转β角可等价为：先用Rz (-α)将y’转回到 y，然后绕y转β角,再将y转回到y’轴，即 ◼ 上式左右两边对y’轴效果自然相同，对z→z’’(z’)的操作也 相同，即上式对刚体的两非平行轴等价。 ◼ 类似可证： ◼ 于是，描述3个Euler转动的正交矩阵为： ◼ 即： 化关于刚体轴y ’ 、z ’的操作为关于空间固定轴的操作
对应于Euler转动的转动算符9(α,β,)=D,(α)9,(β)9,()与R乘积对应的相应转动算符乘积：io2βio,aiosy对自旋1/2体系：expexpexp222-iα/2cos(β/2) (-sin (β/2)0-1Y/200era/2e'/20sin(β/2)cos(β/2)0(a+)/2cos(β/2)-e-1(α-)/2sin(β/2)(:e'(α-)/2sin(β/2)el(α+)/2cos(β/2)该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。上式的exp(-io2β)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。i02Bio,aio3Y是转动算符D(α,β,)的j=1/2的不可约表示，exp222-iJ.α矩阵元记为2(α,β,):2(α,β,)=exphiJβX exphh
对应于Euler转动的转动算符 ◼ 与R乘积对应的相应转动算符乘积： ◼ 对自旋1/2体系： ◼ 该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 ◼ 上式的exp(-iσ2β)矩阵是唯一含非对角元的，且非对角元是纯实数。 ◼ 是转动算符D(α,β,γ)的j=1/2的不可约表示， 矩阵元记为 ：
83.4密度算符与混合系综一、极化与非极化粒子束前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成的系综的统计预言，系综粒子均由态矢α>表征。对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子其自旋朝向是随机的。按前描述任意态的方法，[α>=c+/+>+c_/一所描述的态有特定自旋方向，其极角β和方位角α由cos(β/2)C+c_eiαsin(β/2)决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综
§3.4 密度算符与混合系综 一、极化与非极化粒子束 ◼ 前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成的系 综的统计预言，系综粒子均由态矢|α>表征。 ◼ 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综，前面讨论的 理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子， 其自旋朝向是随机的。 ◼ 按前描述任意态的方法， 所描述的态有特定自旋方向，其极角β和方位角α由 决定，故不能描述自旋无特定方向的体系系综
二、分数分布自旋朝向无规的系综可看作由50%/+>和50%l->的粒子组成，可用布居数（几率权重）W+=0.5和w=0.5描述注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可看作由50%|S+>和50%|Sx->组成。2）几率权重（W+，W.)是实数，没有关于不同态的相对相位的信息，用于描述不同态的非相干混合态。3）不能混淆W+(w)和|c+/2(c./2)，Jc+/2(/c./2)包含了重要的相位信息，用于描述态的相于线性叠加，如()I+>+()->，该相干叠加的结果是S+态。W+、W所对应的概念与经典几率理论的概念相仿
二、分数分布 ◼ 自旋朝向无规的系综可看作由50%|+>和50%|->的粒子组 成，可用布居数(几率权重) w+=0.5和w-=0.5描述 ◼ 注意：1）系综的分解常常是不唯一的，如上述体系也可 看作由50%|Sx +>和50%|Sx ->组成。 ◼ 2）几率权重( w+，w- )是实数，没有关于不同态的相对相 位的信息，用于描述不同态的非相干混合态。 ◼ 3）不能混淆w+ (w- )和|c+ | 2 (|c- | 2 )， |c+ | 2 (|c- | 2 )包含了重要 的相位信息，用于描述态的相干线性叠加，如 ，该相干叠加的结果是Sx+态。 ◼ w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿