课本例4:下面的矩阵是正交矩阵,因为列(行)向量都是单位向量,且两两正 交 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 P 22 对称矩阵的相似矩阵 00 二次型及其标准形 用配方法化二次型成标 00 11 定义5若P是正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换 主讲:张少强 1 标题页 例如线性变换2 00 就是一个正交变 y 1 .'4 换 第11页共42页 性质y=Px=→‖y/‖l=l|le‖l TPTPa=va 全屏显示
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 11 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ë ~4: e°› ¥› ,œè(1)ï˛—¥¸†ï˛, Ö¸¸ . P = 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 √ 1 2 √ 1 2 0 0 0 0 √ 1 2 √ 1 2 ½¬5 eP¥› , KÇ5CÜy = P x°èCÜ. ~X: Ç5CÜ y1 y2 y3 y4 = 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 √ 1 2 √ 1 2 0 0 0 0 √ 1 2 √ 1 2 x1 x2 x3 x4 “¥òáC Ü. 5ü: y = P x =⇒ kyk = kxk (∵ kyk = √ yTy = √ xTP TP x = √ xTx = kxk)
2方阵的特征值与特征向量 定义6设A是n阶方阵,若数λ和n维非零列向量使 A ax 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 成立,则称λ是矩阵A的特征值( eigenvalue).非零向量为A的对应于特征 对称矩阵的相似矩阵 值入的特征向量( eigenvector) 二次型及其标准形 用配方法化二次型成标 (1)式也可写成 (A-AE)=0 (2) 主讲:张少强 (2)式是m元m个方程的齐次线性方程,它有非零解(即存在对应特征值入的特 标题页 征向量)的充分必要条件是R(4)<n,即系数行列式 A-E=0 11 第12页共栏页 12 令f(入)=|A-AE= 121a22 a2n f(是入的n次多 全屏显示 1 项式,称为方阵A的特征多项式( characteristic polynomial).f(入)=0称为方 阵A的特征方程( characteristic equation)
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 12 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — 2 ê AäÜAï˛ ½¬6 A¥n ê , eÍλ⁄nëö"ï˛x¶ Ax = λx (1) §·, K°λ¥› AAä(eigenvalue). ö"ï˛xèAÈAuA äλAï˛(eigenvector). (1)™èå§ (A − λE)x = 0 (2) (2)™¥nnáê߇gÇ5êß, ßkö")(=3ÈAAäλA ï˛)ø©7á^á¥R(A) < n,=XÍ1™ |A − λE| = 0 (3) -f(λ) = |A − λE| = a11 − λ a12 · · · a1n a21 a22 − λ · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann − λ , f(λ)¥λngı ë™, °èê AAıë™(characteristic polynomial). f(λ) = 0°èê AAêß(characteristic equation).
性质λ是方阵A的特征值的充要条件是入是A的特征方程f(入)= A-AE=0的根 在复数域内,m阶方阵A有n个特征值(重数照算) 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 性质设n阶方阵A=(a1)nxn的特征值为入1,入2,…,An,则 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 (1)∑A=∑a;(2)A12…An=|A k=1 主讲:张少强 (由AE-A|=-(a11+a2+…+am)A-1+…+(-1)A及多项式 标题页 根与系数的关系可知) 如何求一个特征值对应的特征向量? 设λ=λ为方阵A的一个特征值,则解齐次线性方程 第13页共42页 A-AiEa=0 可求得一个基础解系,设为E1,E2;…,Enn(这里r=R(A-AE),即属于 全屏显示 特征值λ的线性无关的特征向量.所以,A的属于特征值λ的全部特征向量 为E=k151+k2E2+…+kn-rEn-r(k1,k2,…,kn-为任意不全为0的常数)
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 13 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — 5 ü λ¥ ê A A ä ø á ^ á ¥λ¥A A ê ßf(λ) = |A − λE| = 0ä. 3EÍçS, n ê AknáAä(ÍÏé). 5ü n ê A = (aij)n×nAäèλ1, λ2, · · · , λn, K (1) X n k=1 λk = X n i=1 aii; (2) λ1λ2 · · · λn = |A|. (d|λE − A| = λ n − (a11 + a22 + · · · + ann)λ n−1 + · · · + (−1)n |A|9ıë™ äÜXÍ'Xå) X¤¶òáAäÈAAï˛? λ = λièê AòáAä, K)‡gÇ5êß (A − λiE)x = 0 å¶òáƒ:)X, èξ1 , ξ2 , · · · , ξn−r , (˘pr = R(A − λiE)), =·u AäλiÇ5Ã'Aï˛. §±, A·uAäλi ‹Aï˛ èξ = k1ξ1 + k2ξ2 + · · · + kn−rξn−r (k1, k2, · · · , kn−rè?øÿ è0~Í)
例5例6求矩阵A的特征值和特征向量(详见课本) 例7求矩阵A=020的特征值和特征向量 413 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 解A的特征方程 相似矩阵 对称矩阵的相似矩阵 2-入1 1 二次型及其标准形 A-E 02-入0 (A+1)(A-2) A的特征值为1=-1,A2=3=2(重复特征值的照算) 主讲:张少强 标题页 当入1=-1时,解方程(+E)x=0 10-1 A+E=030化为行最简形矩阵010 第14页共栏页 414 全屏显示 得基础解系E1=|0 所以对应于=-1的全部特征向量为kE1(k≠0)
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 14 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ~5 ~6 ¶› AAä⁄Aï˛.(çÑë ) ~7 ¶› A = −2 1 1 0 2 0 −4 1 3 Aä⁄Aï˛. ) AAêß |A − λE| = −2 − λ 1 1 0 2 − λ 0 −4 1 3 − λ = −(λ + 1)(λ − 2)2 = 0. =⇒ AAäèλ1 = −1, λ2 = λ3 = 2(EAäÏé). λ1 = −1û, )êß(A + E)x = 0. A + E = −1 1 1 0 3 0 −4 1 4 zè1^Å{/› 1 0 −1 0 1 0 0 0 0 , ƒ:)Xξ1 = 1 0 1 , §±ÈAuλ1 = −1 ‹Aï˛è kξ1 (k 6= 0)