定义取向量空间的一个基是正交向量组则此基为向量空间的正交基 问题:给定一正交向量组a1,a2,…,an,如何添加一个非零向 量ar+1使a1,a2,…,ar,a1+1仍是正交向量组? 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 答:即求一个向量ar+1分别与a1,a2,…,a1正交即 相似矩阵 对称矩阵的相似矩 0 二次型及其标准形 0 ar+1 主讲:张少强 标题页 令A= 求Aπ=0的一个非零解就可以了 第6页共42页 具体例题见课本例1 定义3设r个n维向量e1,e2,…,er是向量空间v(VcR)的一个基,如果 全屏显示 它们两两正交并且都是单位向量,则称e1,e2,…,e是V的一个规范正交 基.(注意单位向量和单位坐标向量的区别,单位向量是长度为的向量)
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 6 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ½¬ ï˛òmòქï˛|, Kdƒèï˛òmƒ. Ø K: â ½ ò ï ˛ |a1, a2, · · · , ar, X ¤ V \ ò á ö " ï ˛ar+1¶a1, a2, · · · , ar, ar+1E¥ï˛|? â: =¶òáï˛ar+1©OÜa1, a2, · · · , ar. = a T 1ar+1 = 0 a T 2ar+1 = 0 · · · · · · · · · a T rar+1 = 0 =⇒ a T 1 a T 2 . . . a T r ar+1 = 0 -A = a T 1 a T 2 . . . a T r , ¶Ax = 0òáö")“å± . ‰N~KÑë ~1. ½¬3 ránëï˛e1, e2, · · · , er¥ï˛òmV (V ⊂ R n )òáƒ, XJ ßǸ¸øÖ—¥¸†ï˛, K°e1, e2, · · · , er¥V òá5â ƒ. ( 5ø:¸†ï˛⁄¸†ãIï˛´O, ¸†ï˛¥›è1ï˛)
例如 0 0 0 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 0 0 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 很显然|e1l=|e2‖=|el‖=|e4l=1且e,e=0,≠j,所 正定二次型 以e1,e2,e3,e4是R的一个规范正交基 主讲:张少强 问题:若e1,e2,…,e,是向量空间V的一个规范正交基,则V中任一向量α应 标题页 能由e1,e2,…,en线性表示,设表示式为 入1e1+A2e2+…+入 求系数λ(i=1,2,,r)? 第7页共页 答:用e左乘上式,因为ee=e;e=0(≠j)及ee;=1,则有 ea=Aele;=入 全屏显示 即得到=ea=e,al
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 7 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ~X: e1 = √ 1 2 √ 1 2 0 0 , e2 = √ 1 2 −√ 1 2 0 0 , e3 = 0 0 √ 1 2 √ 1 2 , e4 = 0 0 √ 1 2 −√ 1 2 Èw,ke1k = ke2k = ke3k = ke4k = 1Ö[ei , ej ] = 0, i 6= j, § ±e1, e2, e3, e4¥R 4òá5âƒ. ØK: ee1, e2, · · · , er¥ï˛òmV òá5âƒ, KV •?òï˛aA Ude1, e2, · · · , erÇ5L´, L´™è a = λ1e1 + λ2e2 + · · · + λrer ¶XÍλi (i = 1, 2, . . . , r)? â: ^e T i ܶ˛™, œèe T i ej = [ei , ej ] = 0 (i 6= j)9e T i ei = 1, Kk e T i a = λie T i ei = λi =λi = e T i a = [ei , a].
线性无关向量组的规范正交化 设线性无关向量组a1,a2,,a是向量空间V的一个基 用a1,a2,…,ar来求出V的一个规范正交基e1,e2,,er 预备知识向量的内积 分两步 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 (1)施密特 Schmidt)正交化过程为 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 令b1 用配方法化二次型成标 b1,b1 主讲:张少强 ar, b1 b 标题页 b b 161.6 b2,b2 向量组b1,b2,…,b,为两两正交且与向量组a1,a2,…,ar等价 2)规范化(单位化过程为 第8页共42页 b1 1 全屏显示 则向量组e1,e2,…,er就是V的一个规范正交基
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 8 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — Ç5Ã'ï˛|5âz: Ç 5 à ' ï ˛ |a1, a2, · · · , ar¥ ï ˛ ò mV ò á ƒ. ^a1, a2, · · · , ar5¶—V òá5âƒe1, e2, · · · , er. ©¸⁄: (1) ñóA(Schimidt)zLßè -b1 = a1; b2 = a2 − [a2, b1] [b1, b1] b1; · · · · · · · · · · · · · · · · · · br = ar − [ar, b1] [b1, b1] b1 − [ar, b2] [b2, b2] b2 − · · · − [ar, br−1] [br−1, br−1] br−1. Kï˛|b1, b2, · · · , br踸ÖÜï˛|a1, a2, · · · , ar d. (2) 5âz(¸†z)Lßè e1 = b1 kb1k ; e2 = b2 kb2k , · · · , er = br kbrk . Kï˛|e1, e2, · · · , er“¥V òá5âƒ.
例2详见课本 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 问题:给定一正交向量组a1,a2,……,a,如何添加n-r个非零向 相似矩阵 量an+1,ar+2,…,an使a1,a2,…,an,a+1,…,an是向量空间R的一个 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 正交基? 用配方法化二次型成标 答:先求n-r个向量分别与a1,a2,……,a1正交.令A 主讲:张少强 标题页 求Ac=0的基础解系E1,与2,…,En-然后用施密特正交化过程把基 础解系正交化得到的向量组与原来的合并就是一个正交基 例3用上面的方法可求 第9页共页 定义4如果n阶方阵满足AA=E,即A1=AT,则称A为正交矩阵 全屏显示
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 9 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — ~2çÑë . Ø K: â ½ ò ï ˛ |a1, a2, · · · , ar, X ¤ V \n − rá ö " ï ˛ar+1, ar+2, · · · , an¶a1, a2, · · · , ar, ar+1, · · · , an¥ ï ˛ ò mR n ò á ƒ? â: k ¶n − rá ï ˛ © O Üa1, a2, · · · , ar . -A = a T 1 a T 2 . . . a T r , ¶Ax = 0ƒ:)Xξ1 , ξ2 , · · · , ξn−r . ,^ñóAzLßrƒ :)Xz. ï˛|Ü5‹ø“¥òáƒ. ~3^˛°ê{å¶. ½¬4 XJn ê ˜vATA = E, =A−1 = AT , K°Aè› .
正交矩阵的性质: 性质1A为n阶正交矩阵←→A的列向量组是m维空间R的一个规范正交 基 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 证令A=(a1,a2……,an) 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 A为n阶正交矩阵← (a1,a2,…,an)=E=(0) C 主讲:张少强 其中={b()=(其中={b盖 标题页 当≠j时 0;当=j时,az →a1,a2,…,an是单位向量且两两正交 a1,a2,……,an是n维空间R的一个规范正交基 第10页共42页 性质2A为n阶正交矩阵々→A可逆,且A1=A→AA=AAT=E 全屏显示 性质3A为η阶正交矩阵令→A的行向量组是m维空间R的一个规范正交 基
天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . . ½ g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 10 ê 42 ê à £ ¶ w ´ ' 4 Ú — › 5üµ 5ü1 Aèn › ⇐⇒ Aï˛|¥nëòmR nòá5â ƒ. y -A = (a1, a2, · · · , an). Aèn › ⇐⇒ a T 1 a T 2 . . . a T n (a1, a2, · · · , an) = E = (δij), Ÿ•δij = 1, i = j, 0, i 6= j ⇐⇒ (a T i aj) = (δij), Ÿ•δij = 1, i = j, 0, i 6= j ⇐⇒ i 6= jû, a T i aj = [ai , aj ] = 0; i = jû, a T i ai = [ai , ai ] = 1 ⇐⇒ a1, a2, · · · , an¥¸†ï˛Ö¸¸. ⇐⇒ a1, a2, · · · , an¥nëòmR nòá5âƒ. 5ü2 Aèn › ⇐⇒ A å_, ÖA−1 = AT ⇐⇒ ATA = AAT = E 5ü3 Aèn › ⇐⇒ A1ï˛|¥nëòmR nòá5â ƒ.