《高等代数》课程教学资源（教案讲义）第二章 行列式

40.0 04.0 =dd.d (9) l00.d 对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式(9)说明了对角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把个元素按行指标排起来事实上，数的乘法是 交换的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成 a.0 (10) 其中.，2.jn,是两个n级排列利用排列的性质，不难证明，(10)的符号等于 (-l)45h (11) 事实上，为了根据定义来决定(11)的符号，就要把这个元素重新排一下使得它们的行指标成自然顺 序，也就是排成 a4r42g.am (12) 于是它的符号是 （-y) (13) 现在米证明(1)与(13)是致的.我们知道，由(10)变到(12)可以经过一系列元素的对换米实现每作一次对 换元素的行指标与列指标所成的排列，.i,与.n,就都同时作一次对换，也就是2.) 与t(j2.j)同时改变奇偶性，因而它们的和（中.）+t(2.j)的奇偶性不改变这就是说， 对(10)作一次元素的对换不改变(1)的值因此，在一系列对换之后有 (-1)5*U-》=(-1)252)=(-1)-2) 这就证明了(1)与(13)是一致的. 例如，a14244a:是4级行列式中一项，t(2314)-2,t1243)=1于是它的符号应 为.(-)21=-1如按行指标排列起来，就是a41a2a,t(4123)=3因而它的符号也是(-l)=-】 按(1山)米决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定 每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来于是定义又可写成 a1a2.a2 =∑(-lrwaaa (14) aa2.am

1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n n d d d d d d =  (9) 对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.(9)说明了对角形行列式的值等于主对角线 上元素的乘积. 在行列式的定义中,为了决定每一项的正负号,我们把个元素按行指标排起来.事实上,数的乘法是 交换的,因而这 n 个元素的次序是可以任意写的,一般地, n 级行列式中的项可以写成 1 2 1 2 n j j nj a a a (10) 其中 1 2 , n i i i 1 2 , n j j j 是两个 n 级排列.利用排列的性质,不难证明,(10)的符号等于 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) n n  i i i r j j j + − (11) 事实上,为了根据定义来决定(11)的符号,就要把这个元素重新排一下使得它们的行指标成自然顺 序,也就是排成 1 2 1 2 n j j nj a a a    (12) 于是它的符号是 1 2 ( ) ( 1) n r j j j    − (13) 现在来证明(11)与(13)是致的.我们知道,由(10)变到(12)可以经过一系列元素的对换来实现.每作一次对 换,元素的行指标与列指标所成的排列 1 2 , n i i i 与 1 2 , n j j j 就都同时作一次对换,也就是 1 2 ( ), n  i i i 与 1 2 ( ) n  j j j 同时改变.奇偶性,因而它们的和 1 2 ( ) n  i i i + 1 2 ( ) n  j j j 的奇偶性不改变.这就是说, 对(10)作一次元素的对换不改变(11)的值.因此,在一系列对换之后有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) n n  i i i r j j j + − 1 2 (12 ) ( ) ( 1) n   n j j j +    = − 1 2 ( ) ( 1) n  j j j    = − 这就证明了(11)与(13)是一致的. 例 如 , 21 32 14 43 a a a a 是 4 级 行 列 式 中 一 项 ,  (2314) 2 = ,  (1243) 1 = 于 是 它 的 符 号 应 为. 2 1 ( 1) 1 + − = − 如按行指标排列起来,就是 14 21 32 43 a a a a , (4123) 3 = 因而它的符号也是 3 ( 1) 1 − = − 按(11)来决定行列式中每一项的符号的好处在于,行指标与列指标的地位是对称的,因而为了决定 每一项的符号,我们同样可以把每一项按列指标排起来,于是定义又可写成 1 2 1 2 1 2 11 12 12 21 22 22 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n i i i i i ni i i i n n nn a a a a a a a a a a a a  = −  (14)

由此即得行列式的下列性质： 性质】行列互换，行列式不变即 aa.ana1a.a1 4a2am2 (15) a。a2m.anm 事实上元素，在(15)的右端位于第j行第1列，这就是说，1是它的列指标，j是它的行指标因之， 把右端按(14)展开就等于 三.r“a,a。8 它正是左端按(6)的展开式。 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立 作业 P97,习题8之2) 预习：下一节基本概念 §4n级行列式的性质 教学目标掌握n级行列式的性质，会应用行列式的性质计算行列式 教学重点：n级行列式的性质， 教学方法：讲授法 教学过程 n级行列式一共有项l项，计算它就需做nl(n-1)个乘法当n较大时，nl是一个相当大的数字 直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事因此我们有必要进一步讨论行列式的性质利用这些性质 可以化简行列式的计算 在行列式的定义中，虽然每一项是”个元素的乘积，但是由于这”个元素是取自不同的行与列，所以 对于某一确定的行中n个元素（譬如a1,a2,.,a)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的 个元素因之，n级行列式的nl项可以分成n组，第一组的项都含有a1,第二组的项都含有a2等等再 分别把i行的元素提出来，就有

由此即得行列式的下列性质: 性质 1 行列互换,行列式不变.即 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a = (15) 事实上,元素 ij a 在(15)的右端位于第 j 行第 i 列,这就是说, i 是它的列指标, j 是它的行指标.因之, 把右端按(14)展开就等于 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n j j j j j nj j j j a a a   − 它正是左端按(6)的展开式. 性质 1 表明,在行列式中行与列的地位是对称的,因之凡是有关行的性质,对列也同样成立. 作业: P97,习题 8 之 2). 预习: 下一节基本概念. §4 n 级行列式的性质 教学目标: 掌握 n 级行列式的性质，会应用行列式的性质计算行列式. 教学重点: n 级行列式的性质. 教学方法: 讲授法. 教学过程: n 级行列式一共有项 n! 项,计算它就需做 n n !( 1) − 个乘法.当 n 较大时, n! 是一个相当大的数字. 直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此我们有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质 可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中,虽然每一项是 n 个元素的乘积,但是由于这 n 个元素是取自不同的行与列,所以 对于某一确定的行中 n 个元素(譬如 1 2 , , , i i in a a a )来说,每一项都含有其中的一个且只含有其中的一 个元素.因之, n 级行列式的 n! 项可以分成 n 组,第一组的项都含有 i1 a ,第二组的项都含有 i2 a 等等.再 分别把 i 行的元素提出来,就有

a1a2.an =a141+a242+.+anAn, (1) 4.4 la1aa.a 其中A代表那些含有a,的项在提出公因子a,之后的代数和至于A,究竞是哪一些项的和我们暂且 不管，到6再来讨论从以上讨论可以知道，A,中不再含有第1行的元素，也就是 4,A2,.,An全与行列式中第i行的元素无关由此即得 性质2 aa2.an a1a2.am kae.a.=ka:.a an a2.am aiaa2.an 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式 事实上，() atae.a ka1ka2.am kan An +++kam Au aan2. 小. =ka41+ka242+.+Aun=ka1a2.an aa2.an 令k=0,就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零】 生质3 a12 a1a2.ama1a2.an b+Cb,+C,.b.+C a a2 d2.ama a2.am 这就是说如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这 行以外全与原来行列式的对应的行一样 事实上，设这一行是第1行，于是

11 12 1 21 22 2 1 1 2 2 1 2 n n i i i i in in n n nn a a a a a a a A a A a A a a a = + + + , (1) 其中 Aij 代表那些含有 ij a 的项在提出公因子 ij a 之后的代数和.至于 Aij 究竟是哪一些项的和我们暂且 不管,到§6 再来讨论.从以上讨论可以知道, Aij 中不再含有第 i 行的元素,也就是 1 2 , , , A A A i i in 全与行列式中第 i 行的元素无关.由此即得 性质 2 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka k a a a = 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a a a a a a a 这就是说,一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式. 事实上,由(1) 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a ka ka ka a a a = i i i i in in 1 1 2 2 ka A ka A ka A + + + i i i i in in 1 1 2 2 = + + + ka A ka A ka A 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a k a a a a a a = 令 k = 0,就有,如果行列式中一行为零,那么行列式为零. 性质 3 11 12 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n nn a a a b c b c b c a a a + + + = 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a b b b a a a 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a c c c a a a + 这就是说,如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除这一 行以外全与原来行列式的对应的行一样. 事实上,设这一行是第 i 行,于是

6+Gb2+C3.bn+c=(6+G）4+(b+G2)42+.+(bn+c)Am an2. a =(41+42+.+bnAn)+(G4+C2A2+.+cnAn) az.an .bn +c a.amana2.anm 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等 证明设行列式 a1a2.an a1a2.am (2) a1a2.an an d2.am 中第1行与第k行相同.即 ay=dy.j=12.n (3) 为了证明(2)为零，只须证明(2)的右端所出现的项全能两两相消就行了.事实上，与项 (-)-ha.a%a.a。 同时出现的还有 (-)h4"a.a%.aa 比较这两项，由(3)有a,=a,0=a,也就是说，这两项有相同的数值.但是排列“，一么“，.与 方么.一.相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反易知，全部n级排列可以按上 述形式两两配对.因之，在(2)的右端，对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行 列式为零 性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零 证明

11 12 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n nn a a a b c b c b c a a a + + + 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) i i n n in = + + + + + + b c A b c A b c A 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) i i n in i i n in = + + + + + + + b A b A b A c A c A c A 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a b b b a a a = 11 12 1 1 2 1 2 n n n n nn a a a c c c a a a + . 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质 4 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等. 证明 设行列式 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a 1 1 1 ( ) 1 ( 1) i k n i k n n j j j j j ij kj nj j j a a a a  = −  (2) 中第 i 行与第 k 行相同,即 , 1,2, , ij kj a a j n = = (3) 为了证明(2)为零,只须证明(2)的右端所出现的项全能两两相消就行了.事实上,与项 1 1 ( ) 1 ( 1) i k n i k n j j j j j ij kj nj a a a a  − 同时出现的还有 1 1 ( ) 1 ( 1) i k n i k n j j j j j ij kj nj a a a a  − 比较这两项,由(3)有 , , i i k k ij kj ij kj a a a a = = 也就是说,这两项有相同的数值.但是排列 1 i k n j j j j 与 1 k i n j j j j 相差一个对换,因而有相反的奇偶性,所以这两项的符号相反.易知,全部 n 级排列可以按上 述形式两两配对.因之,在(2)的右端,对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现,从而行 列式为零. 性质 5 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零. 证明

an an =A =0 kaka2.ka .am aan2a 这里第一步是根据性质2，第二步是根据性质4. 性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变 证明 a1a2.am a1+ca1aa+cak2.am+ca a1a2a 0 a5, an1a2.anm aa.anaa2.a aca2.ca .a aa2.a2.a 这里，第一步是根据性质3，第二步是根据性质5 根据性质6即得 性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号 证明 a1a2.an a 412 a11 a1+a1a2+ak2.an+a aa+a a2+a.a+a ak1ak2.am 44 -a. -0 -a d2.am a a

11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in i i in n n nn a a a a a a ka ka ka a a a 11 12 1 1 2 1 2 1 2 0 n i i in i i in n n nn a a a a a a k a a a a a a = = 这里第一步是根据性质 2,第二步是根据性质 4. 性质 6 把一行的倍数加到另一行,行列式不变. 证明 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i k i k in kn k k kn n n nn a a a a ca a ca a ca a a a a a a + + + 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a = 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a ca ca ca a a a a a a + 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a = 这里,第一步是根据性质 3,第二步是根据性质 5 根据性质 6 即得 性质 7 对换行列式中两行的位置,行列式反号. 证明 11 12 1 1 2 1 2 1 2 n i i in k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i k i k in kn k k kn n n nn a a a a a a a a a a a a a a a + + + = 11 12 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n i k i k in kn i i in n n nn a a a a a a a a a a a a a a a + + + = − − −