理。KAM定理讨论的是保守系统，而洛伦兹方程讨论的是耗散系 统，它们分别从不同的角度说明，两种不同类型的动态系统，在长 期的演化过程中是怎样出现混沌态的。从此，对混沌理论的研究 便进入了一个新的时期。 1964年法国天文学家伊依(Henon M)从研究球状星团以及 洛伦兹吸引子中得到启发，给出了下列的Henon映射) 「x1=1+by.-ax y.t=x。 该方程组本是一个自由度为2的不可积的哈密顿系统，然而在方 程中，当参数b=0.3,且改变参数a时，就发珑其系统运动轨道在 相空间中的分布似乎越来越随机。伊侬得到了一种最简单的吸引 子，并用他建立的“热引力崩朔”理论解释了几个世纪以来一直遗 留的太阳系的稳定性问题。 1971年法国物理学家茹厄勒(Rucl业D)和荷兰数学家塔肯烁 (Takens F)为耗散系统引入了“奇怪吸引子"(Strange attractor)" 这一概念，提出了一个新的湍流发生机制，以揭示游流的本质)。 然而，因为淌流是一种极其复杂的现象，它是如何发生的，至今人 们仍不完全清楚，但是，混沌现象的发现，对揭示溜流有很大启发。 1975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克(Yorke J》在 美国《数学月刊》发表了题为“周期3意味着混沌”的著名文 章)，深刻地据示了从有序到混礼的满化过程。文章标题中的 “混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学语汇之中。 1976年美国数学生态学家梅(MayR)在美国《自然》杂志上 发表的题为“具有极复杂的动力学的简单数学模型”文章中指 出，在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看 似随机的行为。如 。1=4x.(1-x.) 称之为入口（或虫口）方程，即著名的逻辑斯谛(Logistic)模瑾。该 模型看来似乎很简单，并且是确定性的，但参数4在一定范围变化 7
时，它却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从 而向人们表明了混沌理论的惊人信息。 1977年第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌学在 国际科学界正式诞生。 1978年和1979年费根包姆(Feigenbaum M)【h]等人在梅的基 础上独立地发现了倍周期分岔现象中的标魔性和普适常数，从而 使混沌在现代科学中具有坚实的理论基础。 20世纪80年代以来，人们者重研究系统如何从有序进入新 的混沌及其混沌的性质和特点。除此之外，猎助于（单）多标度分 形理论和符号对力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上 的总结。由于自然界中一些混沌现象的相继发现，通过计算机还 可描绘各自的混沌图像，如美籍法国数学家曼德布罗特(Mandel- brot BB)于1980年用计算机绘出了世界上第一张Mandelbrot集 的混沌图像。对于这种动力学特性的结构，分数雏虽能描述自然 界中很多现象在几何上的不规则性，然而，由于它不能完全揭示出 产生的相应结构的动力学特性，故Grassber P等人于1987年提出 重构动力系统的理论方法。通过由时间序列中提取分数维、 Lyapunov指数等混沌特征量，从而使得混沌理论进人到实际应用 阶段。 20世纪90年代初，美国科学家0t,Grebogi,Yorke和Pecora, Carroll分别在混沌控制和混沌同步方面取得了突跛性进展，从面 在全世界掀起了“混沌控制热”，使其应用范周扩展到工程技术领 螋以及其他领域。 进入20世纪90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的-· 种普避运动形式，所以对混沌的研究不仅推动了其他学科的发展， 而且其他学科的发展又促进了对混沌的深人研究。因此，混沌与 其他学科相互交错、穆透、促进，综合发展，使得混沌不仅在生物 学，数学、物理学、化学、电子学、信息科学、气象学、宇宙学、地质 学，还在经济学、人脑科学，甚至在音乐、美术、体有等多个领域中 8
得到了广泛的应用。 §1.3混沌研究的意义 上节所提到的KAM定理讨论的是保守系统，说明了近可积 的哈密顿系统中也会出现混沌现象。这里仅指出，对保守系统，混 沌运动的研究不仅具有基本的理论意义，而且具有实际意义。 本书着重介绍牦做系统。与保守系统相比，对耗散系统混沌 运动的研究具有更为重要的实际意义。 目前非线性科学最重要的成就之一就在于对混沌现象的认 识「。而关于混沌动力学的许多概念和方法，如奇任吸引子、相 空间重构和符号动力学，正在广泛运用于自然科学和社会科学的 各个门类之中，并取得了普遍的成功。 自20世纪70年代以来，混沌和有关奇怪吸引子的理论有了 很大的发展，并直接影响到数学：物理学中的许多分支)，具有重 要的实际意义。在力学方面，以往总是把牛顿力学和“决定论”联 系在一起，只要初始条件和受力状态确定，以后的运动就完全确定 了。然而由于运动具有内在随机性，使其由牛顿运动定律所确定 的“初态”变得不可预测，它只有某种统计特性。在分析力学方 面，过去主要是通过建立一般系统的力学方程来进行求解，或当大 多数方程无法积分时，只能研究其解的各种性质。然而混沌理论 指出了它发展的新途径。混沌理论明确指出，高维非线性系统的 方程不仅不能积分，而且其解对初值有敏惠的依赖性。因此，还得 用类似于统计力学的观点去处理。在流体力学中，凿流是一种极 为复杂的现象，它的产生机理长期以来一直是一个恶而未决的难 愿。其困难的部分原因在于它同时存在萧许多长度标度，即缺少 单个的特征长度。1971年茹厄勒和塔肯斯最早用奇怪吸引子理 论来阐明湍流发生机制1，其机制为不动点→极限环+二维环 而→奇怪吸引子（淄流），被称为茹厄勒一塔肯斯道路。他们的观 9
点至今未得到承认，这是因为有人认为混沌理论目前还只能处理 有限的低维的常微分方程，而真正的常流则出现在三维空间中，并 且流体运动的Navier-Stokes方程的动态与简化的常微分方程组的 性质很不一样，用混沌解决湍流问题还为时尚早，但这种通向渤流 的道路（还有费根包姆倍周期分岔道路、皮姆一曼恩威勒阵发混 沌道路等)很有可能为湍流研究打开了一条新的思路。在非线性 振动理论方面，大家知道，即使在周期性的撒励下，非线性系统也 会出现随机运动，那么在随机力的作用下，非线性系统又会出现曙 些动态呢？这里的随机力（又称染声或株落力）是指它的作用与 宏观变量相比是很小的，并且它反映了微残运动对宏观变量在演 化过程中的杂乱无章的作用。因此，以往人们总是期望这种随机 力对宏观运动的影响是小的，并作为一种消根的干扰来处理。然 而，自20世纪70年代以来的非线性科学和统计物理的最新发展 表明」，一个小的随机力并不仅仅对原有的确定性方程结果产生 微小的改变，而且它能出人意料地产生重要得多的影响。在一定 的非线性条件下，它能对系统演化起决定性的作用，甚至能改变宏 观系统的未来命运。另外，这种无规则的随机干扰并不总是对宏 观秩序起消极破环作用，在一定条件下它在产生相干运动和建立 “序”上起着十分积极的创造性的作用。所以，揭示非线性条件下 随机力所产生的各种重要效应，进而研究这类效应产生的条件、机 制及其应用便成为目前非线性科学和统计物理发展的一个重要任 务。 综上所述，通过对混沌的研究，极大地扩展了人们的视野，活 跃了人们的思维。过去被人们认为是确定论的和可逆的某些力学 方孕，却具有内在的随机性和不可逆性。确定论的方程可以得出 不确定的结果，这就跨跃了确定论和随机论这两套捕述体系之间 的鸿沟，给传统科学以很大冲击，在某种意义上使传统科学被改 造，这必将促进其他学科的进一步发展。 10
第二章 大自然的复杂性 通过对混沌科学的论述表明，人们面临的是一个复杂纷紫的 世界。因此，只有抓住对大自然的复杂性的深人研究，才能描绘出 一个客观的世界图景。 众所周知，在甘常生活中简单性与复杂性是两个不同的概念。 实际中，区分简单性与复杂性并不是那么容易、直观和明显。例 如，冰苞和雪花有什么不间？琴弦的振动与心脏的脉动有什么区 别？物理过程和化学反应可否由少数规律来决定和预见？以往人 们通常认为复杂性总是和生物现象紧密联系在一起的。如生命的 起源，生物进化的演化发展规律以及语言、人的大脑都是复杂的： 而传统物理学中的物体在重力作用下的自由下落、单摆的周期性 振动却是简单的，似乎认为任何复杂的自然现象都可用一条简单 的规律或一组确定的方程来擂述。其实不然，由于物质世界的答 种现象受到不同条件的制的，而这些条件本身又是变化的，因此大 自然确实存在着复杂性。 对大量现象的观察和研究表明12】，简单与复杂、无序与有 序之间的界限远比人门通常想象的狭做得多。如受周期力的单摆 运动，可视为是多种运动的组合，它可能包含着偏离其平衡位置的 随机素乱的振动。在化学药品的一层混合液体中，其本身是一个 极为普通的体系，但当在一定条件下，就会在不同时间的间隔内呈 现其颜色相异，在空同上出现有一定结构的规则图案，即化学反应 中的自组织现象。显然，复杂性就寓于大自然之中。为了以后更 好地研究混沌这一复杂现象，下面先介绍确定论和概率论。 11