§2.1确定论和概率论的描述 对于同一客规世界而言，确定论和概率论在物理学中有两套 描述体系】。牛顿力学或更确切地说，天体力学曾经是描述酶定 论的典范。而热力学、流体力学这类宏观描述，须借助于统计概念 论证，曾经是描述概率论的典范。从某种意义上说，这是两种基本 概念相反的描述方法。天体力学是“一一对应”的关系，即当给定 了一组确定的初值，那么就可以决定一条确定的运行轨道，由此就 确定了该体系过去与未来的变化规律。而热力学是“多一对应” 的关系，即一个平衡态对应瞬息万变的诸多微观状态，它又可以是 许多非平衡态的归宿，其体系本身的变化是无法用平衡态来判断 的。如在力学中，只要初始条件的变化很小，那么随着系统的演 化，轨道的改变也不会很大，否则“轨道”概念本身就不再适用（不 稳定点附近除外)，只要外力不突变，其运动方式也就不会自发地 产生突变，力学方程是可逆的。在热力学中可能有相变现象，即控 制参数（如温度、压力等），一旦发生原则上的无限小变化，也会使 系统的某些特征量呈现出有限的突变，出现无穷多的尖峰等，热力 学允许有不可逆过程。 人们知道，纯确定论和纯概率论都是一种理想化的描述，它涉 及某种无穷过程的极限。如果说一个质点的运动轨道是完金确定 的，显然这就意味着要用精度无限高的仪器来测量它，这是完全不 可能做到的，因为测量的精度只可能是有限的。如果把有限性 (包括测量精度的有限性，随机检验的有限性)作为认识自然现象 与承认自然现象的有限性的基本出发点，哪么人们就可以将确定 论和概率论从根深蒂固的对立关系中统一起来，混沌现象的研究 正是为了解释这个涉及经典力学中“复杂”系统的另一类应用的 根本问题。 同样，对大气运动的认识，历来也有确定论和随机论两种观 12
点。传统的观点认为：大气运动有其确定性的一面，其规律可用徽 分方程加以描述。同时，大气运动又有其不确定性的一面，这就是 说不可能确知某时、某处大气的真正状态（尽管这种状态在理论 上是存在的)，而只能从整体上把操其统计特性，其特性可用概率 论和统计学加以描述。 而格伦兹的研究向人们揭示了一个新的现象》，就是用微分 方程描述的确定性系统在相当长的时间后，其演化不再具有确定 性，而是呈现一种“混乱”的状态，这种现象称为“混沌”。 上述两种不确定性（两种随机性），一种是动力系统由于受到 外界诸多因素的影响而产生的，且人门对其中某些因素的作用，甚 至因素本身是什么也不知道，这种特性并非是动力系统本身所固 有的，称外在随机性。另一种是动力系统本身所固有的，并不是由 于外界的干扰，因面被称为内在随机性。外在碰机性表示系统在 任何时刻，即使是很短的时间内，其状态也是不确定的，因而是不 可预报的，只能对系统的状杰进行统计描述，给出它的概率分布规 律。而内在随机性是系统在短期内按确定的规律演化且有一个可 预报期限，只是在足够长的时间后系统才变为不确定。因此，内在 随机性指的是系统在足够长的时间后的行为。 这种内在随机性存在于大址的保守系统和耗散系统中。需要 強调的是，它与外在随机性不同，它是在完全确定论的方程中，不 需要附加任何随机因套亦可出观类似随机行为，导致混沌的结果。 因此，在混沌理论中可以把牛顿力学方程和统计力学方法、线性随 机性方程和非线性确定论方程以及周期解和混沌解有机地结合起 来，从而达到确定性和德机性、决定论和非决定论高度的内在统 §2.2 物理学中几个复杂现象 观察一缕青烟，开始袅袅上升，然后逐渐加速，突然形成一个 13
螺旋状的烟团，不断地扩大，向四面八方飘散；天气瞬息万变，开始 晴朗的天空，爽然风卷云涌，大雨倾盆：人类生活的地球，熔岩在地 下奔爽：野生种群无规则地紫衍和湮灭；人类心脏的纤维颜动和脑 电图的无规则被动，等等。诸如此类的无规则现象，说明自然界确 实是非常复杂的。 自然界的演化过程常常导致种类繁多、功能多样、结构复杂的 形态。下面以三个物理学中的问题为例分别予以论述。 一，贝纳(Benard)对流不稳定性问题 贝纳对流问题是研究热对流和大气环流的基本问题。图 2.2.1所示的为在两块无限长平板中夹有菜一液体薄层的系统， 其中T,和T2分别为上、下板温度。当T,和T2相同时（即AT= T2一T,=0),整个液体的温度是均匀的，其液体所处的空间是对称 的。上、下板温度即为环境温度，此时系统与环境没有热量交换， 即系统处于平衡态，这是一种热力学混沌态。若将手指触摸下板 片刻，这时板的局部温度将发生瞬时的变化（即产生一个小的扰 动或涨落)，此时靠近下板的热液体向上移动，而近上板的冷液 体则向下移动，这样的相互移动由于受到粘性的阻滞作用，使得系 统处于平衡态。因此，这个涨落并不会发生作用，上下板的温度很 快就趋于一致（即T,=T,)。 T 7070 图2.2.上贝纳对流 若从下板给液体层加热，液面上下产生温差，下面吸热，上面 放热，即此时以热的方式向系统内输送热量，使系统离开平衡态， 14
这样便碳坏了系统的平衡条件（即△T≠0），所以△T=T,-T,>0, 当△T很小时，从下板向系统内液体加热所输入的热量便从上板 扩散到外界去，以保持T:的不变，这就是热传导现象，液体不会发 生宏观运动。这种现象与平衡态是相同的，即液体仍处在简单的 静止状态，但与平衡态不同的是，温度此时是由下板到上板呈线性 分布的。 若继续给下板加热，则△T增加，此时系统逐渐远离平衡态， 传输热量也逐渐增多。当△T的增加超过某一临界值△T,时，原 来静止的液体便失去了稳定性，开始从静止的热传导状态突然做 整体的热对流运动（如图2.2.1所示）.即出现了一种新的传热机 制一对流，这就是贝纳对流不稳定性。对流泡沿水平轴星现连 续顺时针旋转（右旋）或逆时针旋转（左旋），这时便破坏了原静止 的对称性，从而形成了左旋右旋相间的对称破缺状态。此时与平 衡态不同的是，小的涨落不再被衰域而是被体系继续放大，以致使 原有的静止状态失去稳定性，而分岔出热对流的状态。由于涨落 的随机性，给定的空间区城流体可能是右旋的，也可能是左旋的， 这可以看做是流体动力学方程解的多重性的表现。左旋和右旋的 对流泡之间同时还有强烈的关联作用，互相协潮一致地形成对流 状态。从宏观上看，这是一种稳定的有序结构。 顺便提一下，上面就是现察到的自组织现象。 若再继续增加△T,系统的对流花样会变得更复杂，这就从一 种有序变为另一种有序。上面简单的对流花样可看成是液体的某 一种频率的振装，当对流花样变得复杂时，说明液体的振荡频率数 目在增加。不断地增加△T,当AT增大到一定程度时，系统便具 有了各种频率，有序度达到了极限，液体将由对流状态进入剂流。 湍流就是一种新的混沌态，这种新的混沌态与形成贝纳对流花样 之菲的混沌不同，它存在着激烈的宏观运动，而原来的热力学混沌 却是宏观静止的。潜流这种形态表而看来似平很不规刚，若作进 一步研究，发现其内部具有极其复杂的自相似结构。 15
Benard在实验宽里进行的热对流实验，所观察到的一些性质 已成为了解大气和海洋环瓏以及大陆漂移这样的空间大范围运动 机理的基础。就自组织现象来说，它又是深人理解非平衡与耗散 结构直至潜流形成机制中许多重要概念的基础。 二、卡曼(Kar四n》涡街 卡曼祸街是流体力学中的重要问题。将一个半径为L的无穷 长圆柱置于一个流速为 U、粘性系数为，的流体 中，当决定流动状态的参 数（如需诺数R=凸）取 a 不同值时，流体绕过圆柱 荒动时的情况，如图 (b) 2.2.2所示。当Re较小 时，即流速。很低时，流 线图形与圆柱的形状相 似。流体的流动状态是 3 稳定的，流体每一点的运 动状态不随时间而变，流 (a) 体在圆柱后面形成平秘 的流线，即()是定常运 动（见图2.2.2(8）)：当 (e) Re逐渐增大并超过某一 图2.2.2卡是洞街 锅值后，圆柱后面的流线 突然发生振荡，形成一对 静止的祸旋，()就是周期运动（见图2.2.2(b)):当e继续增大 时，流线开始从图柱后面的左右两侧分离成两两间隔反向的祸旋， 这时祸旋处于动态的振动之中（见图2.2.2(c)),称为卡曼祸街。 16