ME6011弹性塑性力学 主讲：胡永祥博士 办公室：机械A楼708 电话：021-34206554 13564691365 Email huyx@sjtu.edu.cn 合 射境乾术辱蒙膏自财化研究所 国成大燮 ME6011弹性塑性力学 第2章应变分析 一点的应变状态、应变与位移 主应变 应变张量与应变偏量 应变协调方程 圆人座 ME6011弹性塑性力学 1
1 ME6011 弹性塑性力学 ME6011 弹性塑性力学 主 讲：胡永祥 博士 办公室：机械A楼708 电 话：021-34206554 13564691365 Email ：huyx@sjtu.edu.cn 制造技术与装备自动化研究所 ME6011 弹性塑性力学 第2章 应变分析 一点的应变状态、应变与位移 主应变 应变张量与应变偏量 应变协调方程 2
位移及其位移分量 由于外部因素作用（荷载或温 度改变等)引起物体内部各质 点位置的改变称位移 物体内任意一点的位移：用它在x、 变形状态 八z三个坐标轴上的投影u、八、 W来表示。以沿坐标轴正方向的 未变形状态 为正。 u(x、y、z）=rx-Rx x,y、z=ry-R WX、y、Z)=2-R2 国上活我大峰 ME6011弹性塑性力学 3 位移分类 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相 对位置不变 刚体位移：平行移动、转动位移 平移 旋转 (虚线为可能的路径) 特点：体内任意两点之间距保持不变 @上大峰 ME6011弹性塑性力学 2
2 ME6011 弹性塑性力学 3 R r u A A' x y z u(x、y、z) = rx Rx v(x、y、z) = ry Ry w(x、y、z) = rz Rz 由于外部因素作用（荷载或温 度改变等）引起物体内部各质 点位置的改变称位移 位移及其位移分量 未变形状态 变形状态 物体内任意一点的位移：用它在x、 y、z三个坐标轴上的投影u、v、 w来表示。以沿坐标轴正方向的 为正。 ME6011 弹性塑性力学 4 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相 对位置不变 特点： 体内任意两点之间距保持不变 刚体位移：平行移动、转动位移 位移分类
位移分类 变形位移：位置改变+物体内部各个点的相对位置改变 即物体的形状发生改变。 变形位移：形状改变、体积改变 形变 体变 国上活天1大峰 ME6011弹性塑性力学 2-1一点的应变状态、应变与位移 ·变形 ·物体中若任意两个点的相对位置发生了变化，即认为 物体有了变形。 ·应变 ·发生变形的物体中将出现应变状态。 ·均匀应变：变形前相互平行的两条直线在变形后仍为 平行直线 ·不均匀应变：不同点的位移是不同的 均匀应变 不均匀应变 国上清大峰 ME6011弹性塑性力学 6 3
3 ME6011 弹性塑性力学 5 变形位移：位置改变 + 物体内部各个点的相对位置改变 即物体的形状发生改变。 变形位移：形状改变、体积改变 位移分类 ME6011 弹性塑性力学 2-1 一点的应变状态、应变与位移 • 变形 • 物体中若任意两个点的相对位置发生了变化，即认为 物体有了变形。 • 应变 • 发生变形的物体中将出现应变状态。 • 均匀应变：变形前相互平行的两条直线在变形后仍为 平行直线 • 不均匀应变：不同点的位移是不同的 6
2-1一点的应变状态、应变与位移 简单的例子 验 11111111511166 沿x方向的正应变 A A △wdu △x &x lim= Ar-→0△xdk B 1u+△u B 如果变形的分布是 均匀的 8x= 1-=△M lo 国上活我大峰 ME6011弹性塑性力学 根据投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。 平行六面 假设： 体的变形◆由于变形微公，所以可以认为两个平行面在坐标 面上的投影只相差高阶的微量 ◆因而两个平行面的投影面可以合并为一个投影面 设在直角坐标系中， 变形前，A点的坐标是（化，八，）， 变形后的坐标是(x+u,y+y,z+w), ,3,w是A点位移在x,3z轴上的投影 x,y),(x,y,z),w(x,y,)位移 导数连续 @上大峰 ME6011弹性塑性力学 4
4 ME6011 弹性塑性力学 2-1 一点的应变状态、应变与位移 0l l x x u u u A B A’ B’ 沿x方向的正应变 dx du x u x x 0 lim 如果变形的分布是 均匀的 0 0 0 l l l l l x 7 简单的例子 ME6011 弹性塑性力学 设在直角坐标系中， 变形前，A点的坐标是(x, y, z)， 变形后的坐标是(x+u, y+v, z+w)， u, v, w是A点位移在x, y, z轴上的投影 u(x, y, z)，v(x , y , z)，w(x , y , z) 位移 导数连续 x z y o 根据投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。 假设： 由于变形微小，所以可以认为两个平行面在坐标 面上的投影只相差高阶的微量 因而两个平行面的投影面可以合并为一个投影面 8 平行六面 体的变形 A
C' 0 A点的位移（沿x轴）： D u=f(x,y,) 子， B点的位移（沿x轴）： 4=f(x+d,y,z)=u+ Ou dx 8x dx 根据Taylor级数展开， 并略去高阶微量 4=+ d Ox 在x轴上投影的伸长量 1-l= ad水 8x 沿x轴的伸长线应变 .= u-u ou d Ox 沿y和z轴的伸长线应变6，= a Ow = Oy 圈上清我大峰 02 ME6011弹性塑性力学 x0z平面内的角应变： Yx=a+B D A点的位移（沿z轴）： Ow w=3(x,y,z) dx B点的位移（沿z轴）： d X w=f(x+dx,y,z)=w+ d Ou B点与A点沿z轴的位移差 141=4+ dx Ox w1-W= 8x 变形是微小的a≈tana owdx Ow 相同的方法可得 Ox 8x ou dx+ ou dx B= 0x d2 ©上海式人座 ME6011弹性塑性力学 10 5
5 ME6011 弹性塑性力学 x z o x u dx dx x u u u 1 A B C D A’ B’ C’ D’ ( , , ) 1 u f x y z A点的位移（沿x轴） ： B点的位移（沿x轴）： dx x u u f x dx y z u 1 1( , , ) 在x轴上投影的伸长量 dx x u u u 1 沿x轴的伸长线应变 x u dx u u x 1 沿y和z轴的伸长线应变 z w y v y z , 根据Taylor级数展开， 并略去高阶微量 z 9 ME6011 弹性塑性力学 x z o x z u w dx dx x u u u 1 dx x w A B C D A’ B’ C’ D’ w xoz平面内的角应变： zx ( , , ) 3 w f x y z A点的位移（沿z轴） ： B点的位移（沿z轴）： dx x w w f x dx y z w 1 3 ( , , ) B点与A点沿z轴的位移差 1 w w w dx x dx x u dx dx x w 变形是微小的 tan x u x w 1 z u 10 相同的方法可得