上海交通大学：《弹塑性力学》课程教学资源（讲义）应变分析（2/2）

2-2主应变 主平面，主方向，主应变 一点的应变状态也可以用张量表示一应变张量 引进符号 1 1 u Ov 6y= 2 dy Ox Ex 1 Ey Ow ay = 6, 1(ou Ow Ey 2 2z 8x MB6011弹性塑性力学 18 用应变分量表示du 设有ACDBEGHF正六面微单元体 Z H(x+dx,y+dy,z+dz) 可以认为它的应变是均匀的 A点 变形前：A(x,y, 变形后：A'(x+u,yV,z+W 0 yA(xy7 A点的位移、V、w为x,y,z的 连续函数 H点 u=f(x,y,z) 变形前：HI(x+dx,ytdy.(ztdz 变形后：H'{x+dx+(u+dul,[y+dy+v+dvl,I(z+dz+(w+dw》 其中du、dM、dw为H点相对于A点的位移 u+du=f(x+dx,y+dy,z+dz) 圆上1大峰 ME6011弹性塑性力学 19 1

1 ME6011 弹性塑性力学 2-2 主应变 主平面，主方向，主应变 一点的应变状态也可以用张量表示—应变张量              x w z u zx zx 2 1 2 1                  x v y u xy xy 2 1 2 1                  y w z v yz yz 2 1 2 1              zx zy z yx y yz x xy xz ij           18 引进符号 ME6011 弹性塑性力学 x z y o A(x,y,z) H(x+dx,y+dy,z+dz) u  f (x, y,z) u  du  f (x  dx, y  dy,z  dz) 19 H点 用应变分量表示dui A点

根据Taylor级数展开 u+du=f(x,y,z)+ dx+ of dy* d止地n的高阶所 u y du ou dx aud也 =Edx+Endy+dz Ox dy o 1(au ov 1(ou ow -dx+ dy+ d O 2 y 20z y 2 dy dx 刚体转动，不引起应变 y 同理dw=ndk+,少+6-止 可得dv=6dk+6,dy+ed正 0 圈上活庆大等 ME6011弹性塑性力学 20 主应变空间中，(6,62,6)表示一个应变状态 若增加了一个增量dr,且其方 向保持不变， dr 则r和dr在坐标轴上的投影是成比例的。 dr du d dw r dx dy dz du adx,dy ady,dw adz 系数行列式为零 du=adx=s dx+dy +sd (8x-8)dx+dy+dz=0 dy=ady =E dx+s dy+sddx+(6,-E)dy+sde=0 dw =adz=6_dx+s dy+s.dz dx+sdy+(8.-s)d=0 ©上海礼人空 ME6011弹性塑性力学 21 2

2 ME6011 弹性塑性力学 根据Taylor级数展开 ( , , ) dz (dx, dy,dz的高阶项) z f dy y f dx x f u du f x y z             dz z u dy y u dx x u du          u dz x w z u dy x v y u dz x w z u dy x v y u dx x u                                                        2 1 2 1 2 1 2 1 刚体转动，不引起应变 x y o u y x v dx dy dz x xy xz       dv dx dy dz yx y yz       dw dx dy dz zx zy z      20 同理 可得 ME6011 弹性塑性力学 y x z o r dr 主应变空间中， 表示一个应变状态 ( , , ) 1 2 3 r    dz dw dy dv dx du r dr      若增加了一个增量dr，且其方 向保持不变， 则r和dr在坐标轴上的投影是成比例的。 du  dx, dv  dy, dw  dz du dx dx dy dz x xy xz        dv dy dx dy dz yx y yz        dw dz dx dy dz zx zy z        ( x  )dx   xydy   xzdz  0  yxdx  ( y  )dy  yzdz  0  zxdx   zydy  ( z  )dz  0 系数行列式为零 21

5 - Be e3-1e2+158-13=0 =0 Ex 6:-8 ◆ C1,E2,83 应变不变量 I1=6x+6,+6: 5=,6,+8,6.+8.6,-6-e-6 1g=6,6,6.+2E56-8,6-6,6-6,60 I{=61+62+63 主应变表示的应 变不变量 I3=682+E283+8361 I5=6826 周上活大峰 ME6011弹性塑性力学 22 2-3应变张量与应变偏量 和应力相似，应变也可以用张量表示。也可以分解 为与体积有关的球形应变张量和物体形状变化有关 的应变偏量。 0 0 0 球形应变张量 平均应变： 0 0 1 0 0 6-36+6+6) x-80 Ex 应变偏量 e= e,-E0 Ey :-0 ©上海礼人空 ME6011弹性塑性力学 23 3

3 ME6011 弹性塑性力学  0                zx zy z yx y yz x xy xz 0 2 3 2 1 3   I  I  I  1 2 3  ,  ,  应变不变量 x y z I       1 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx I             2 2 2 3 2 x y z xy yz zx x yz y zx z xy I               1 1 2 3 I     2 1 2 2 3 3 1 I         3 1 2 3 I     22 主应变表示的应 变不变量 ME6011 弹性塑性力学 2-3 应变张量与应变偏量 和应力相似，应变也可以用张量表示。也可以分解 为与体积有关的球形应变张量和物体形状变化有关 的应变偏量。 球形应变张量            0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      ij ( ) 3 1 0 1 2 3      平均应变： 应变偏量               0 0 0             zx zy z yx y yz x xy xz ij e 23

526:-6,-6:) en= 26,-6x-8） 3 Ex Ey (2-6x-,) 主应变表示应变偏量 =(26,-62-63) 0 0 0 (2e2-61-63) 0 0 0 2,--6 在考虑塑性变形时，经常采用体积不变假设，这时球形应 变张量为零，则应变张量等于应变偏量。 ©上活秋峰 M6011弹性塑性力学 24 主剪应变 %=±(62-63) y2=(E3-6) 61>62>63◆Ymax=61-63 Y3=±(6-62) 正八面体剪应变 2 应变强度（等效应变） 1 2 6=2w=3 V(G-62)2+(e2-6)2+(6-6)2 8表示变形的程度，永远是一个正值并与塑性变形功有 直接的联系。 圆人唑 ME6011弹性塑性力学 25 4

4 ME6011 弹性塑性力学                        (2 ) 3 1 (2 ) 3 1 (2 ) 3 1 zx zy z x y yx y x z yz x y z xy xz ij e                                       (2 ) 3 1 0 0 (2 ) 0 3 1 0 (2 ) 0 0 3 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3          在考虑塑性变形时，经常采用体积不变假设，这时球形应 变张量为零，则应变张量等于应变偏量。 24 主应变表示应变偏量 ME6011 弹性塑性力学 主剪应变               ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 3 1 1 2 3          1 2 3      max 1 3     正八面体剪应变 2 3 2 2 2 0 1 3 2        2 3 1 2 2 3 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 2          应变强度（等效应变） 2 3 1 2 2 3 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1             i εi 表示变形的程度，永远是一个正值并与塑性变形功有 直接的联系。 25

必例题2-1 设物体中点的位移函数为： u=10×10-3+0.1×10-3xy+0.05×10-3z v=5×10-3-0.05×10-3x+0.1×10-3z 1w=10×10-3-0.1×10-3x2 试求物体中坐标为(1,1,1)的P点应变张量与应变偏量。 解：根据几何方程可得 8=0=0.1x10y5,==0.1x10-55,-=-01x10y Ox oy Ou ov = =0.1×10-3x-0.05×10-3 0+ y:= =-0.1×10-3xz+0.1×10-3y Oy Oz 2=0+0=-0.1x10E+0.05×103 ar a 上活元可大警 ME6011弹性塑性力学 26 将P点的坐标1,1,1)代入，并注意 1 6w=2… 0.1 0.025-0.025 应变张量： m= 0.025 0.1 0 ×10-3 -0.025 0 -0.1 1 60=-(0.1+0.1-0.1)×10-3≈0.033×103 3 0.067 0.025 -0.025 应变偏量： en= 0.025 0.067 0 ×10-3 -0.025 0 -0.133 圆海人唑 ME6011弹性塑性力学 27 5

5 ME6011 弹性塑性力学  例题2-1 设物体中点的位移函数为： w xyz v x yz u xy z 3 3 3 3 3 3 3 3 10 10 0.1 10 5 10 0.05 10 0.1 10 10 10 0.1 10 0.05 10                         试求物体中坐标为(1,1,1)的P点应变张量与应变偏量。 解：根据几何方程可得 xy z w z y v y x u x y x 3 3 3 0.1 10 , 0.1 10 , 0.1 10                       3 3 0.1 10 0.05 10             x x v y u xy  xz y z v y w yz 3 3 0.1 10 0.1 10               26 3 3 0.1 10 0.05 10              yz z u x w zx  ME6011 弹性塑性力学 将P点的坐标(1,1,1)代入，并注意 1 2 xy xy     3 10 0.025 0 0.1 0.025 0.1 0 0.1 0.025 0.025                应变张量：  ij  3 10 0.025 0 0.133 0.025 0.067 0 0.067 0.025 0.025                应变偏量： eij  3 3 0 (0.1 0.1 0.1) 10 0.033 10 3 1          27