设(12、x)是样本xX2x)的观察值则 样本均值观察值: ∑ 样本方差观察值: n-1(x-x)2 样本标准差观察值 ∑(x-x n-1i=1 样本阶原点矩观察值:a=∑ k=1,2 样本阶中心矩观察值:b=∑(x1-x)k=12 上页
= = n i i x n x 1 1 样本均值观察值: • 设（x1 ,x2 ,…,xn）是样本(X1 ,X2 ,…,Xn )的观察值,则 = − − = n i i x x n s 1 2 ( ) 1 1 样本标准差观察值: = − − = n i i x x n s 1 2 2 ( ) 1 1 样本方差观察值: 1,2,... 1 : 1 = = = x k n k a n i k 样本 阶原点矩观察值 k i ( ) 1,2,... 1 : 1 = − = = x x k n k b n i k 样本 阶中心矩观察值 k i
·若总体均值E(X)存在,总体方差D(x)存在,则 由x1,Ⅹ2,…,Xn的独立性及同分布性,有 E(X)=E(X2)=…=E(Xn)=E(X) D(X)=D(X2)=…=D(Xn)=D(X) 由于X,X2,…x也具有相互独立性及与Xk 同分布性,于是 E(X)=E(X2)=…=E(X)=E(X) 上页
• 若总体均值E(X)存在，总体方差D(X)存在，则 由X1,X2,…,Xn的独立性及同分布性，有 E X E X E X E X ( 1 2 ) = = = = ( ) ( n ) ( ) D X D X D X D X ( 1 2 ) = = = = ( ) ( n ) ( ) 由于 k n k k X1 , X2 , X 也具有相互独立性及与 k X 同分布性,于是 ( 1 2 ) ( ) ( ) ( ) k k k k E X E X E X E X = = = = n
定理:设总体X的均值为μ,方差为σ2(X1,X2,,Xn 是X的一个样本,则有 E(=u D(X) 证明 E(X)=E(∑X)=∑E(x)=H D(X)=D(∑X)=n2 ∑D(X)=σ2 上页
n E X D X 2 ( ) ( ) = = 证明 = = = = = n i i n i i E X n X n E X E 1 1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( • 定理:设总体X的均值为μ,方差为σ 2 ,(X1 ,X2 ,…,Xn ) 是X的一个样本,则有 2 1 2 1 1 ( ) 1 ) 1 ( ) = ( = = = = n D X n X n D X D n i i n i i
王 定理:设总体X的均值为E(X)=μ,方差D(X)=2 (X1,X2,,Xn)是X的一个样本,则有 E(S)= 证明E(S2)=B{,∑(x,-X) =E;∑X-)-(X-m)2 H-1=1 Em-i 2(x -)( -) ∑E(X1-)2-nB(X-)2] n-iI2D()-nD(X)]=n-i(no-n n)=o 上页
2 2 E(S ) = • 定理:设总体X的均值为E(X)=μ,方差D(X)=σ2 , (X1 ,X2 ,…,Xn )是X的一个样本,则有 证明 − − = = 2 1 2 ( ) 1 1 ( ) n i Xi X n E S E − − − − = = n i Xi n X n E 1 2 2 [ ( ) ( ) ] 1 1 [ ( ) ( ) ] 1 1 2 2 1 − − − − = = E X nE X n n i i − − − − = = n i Xi X n E 1 2 [( ) ( )] 1 1 2 2 2 1 ( ) 1 1 [ ( ) ( )] 1 1 − = − − = − = = n n n n D X nD X n n i i
士王士 定理设(X12X2…,Xn)是来自总体X~N(22) 的一个样本则样本均值X~N(p2) 生证明因为服从正态分布又 2 E(X)=D(X)= 工工工 2 故有X~N(,一) 上页
n E X D X 2 ( ) ( ) = = ~ ( , ). 2 n X N 故有 证明 因为X服从正态分布,又 , ~ ( , ). : ( , ,..., ) ~ ( , ) 2 2 1 2 n X N X X Xn X N 的一个样本 则样本均值 定理 设 是来自总体