第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
第十讲 唯一决定分式线性映射的条件
s3唯一决定分式线性映射的条件 m1.分式线性映射的存在唯一性 口2.舉例
1. 分式线性映射的存在唯一性 2. 举例 §3 唯一决定分式线性映射的条件
1分式线性映射的存在唯一继 虽然="z+b 含有a,b,c,d四个常数实际只 cz+d 有三个是独立的 所以只需给定三个条件就能决定一个分式 线性映射我们有: 定理在z平面上任意给定三个样的点1,23 在w平面上也任意给定三相异的点w,w2,w3 →存在唯一的分式线性时f(z): f:zk->形k(k=1,2,3)
. , , , , 有三个是独立的 虽 然 含 有a b c d四个常数 实际只 cz d az b w + + = , : , , 线性映射 我们有 所 以 只需给定三个条件就能决定一个分式 : ( 1,2,3) ( ): , , , , , 1 2 3 1 2 3 ⎯→ = f z w k f z w w w w z z z z k f k 存在唯一的分式线性映射 在 平面上也任意给定三个相异的点 定理 在 平面上任意给定三个相异的点 1. 分式线性映射的存在唯一性
证明设w= az+ b (ad-be≠0),将x4(k=1,2,3)依次 cz+d z 十 →P(k=1,23),即w(k=1,2,3) k (a-k(ad-bc) 因而有w-wk(cz+d)(c+(k=1,2) (z3 -zk(ad-bc) k (cz3+)(ck+、 w-w,(z-1(ad-bc)(c),+d )-,(c2 +d) w-w(ci+d)(cz,+d)(z-Gad=) -z2(c,+d)
( 1,2,3), ( 1,2,3) ( 0), ( 1,2,3) = + + → = = − = + + = k cz d az b w k w ad bc z k cz d az b w k k k k k 即 证明 设 将 依 次 ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k 因而有 k ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 cz d cz d z z z z z z ad bc cz d cz d cz d cz d z z ad bc w w w w + + − − = − − + + + + − − = − − ,( 1,2) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 = + + − − − = k cz d cz d z z ad bc w w k k k
同理 z3-1(Cz2+d) z3 -2(C1+d) 所求分式线性映射 故 W-WW3-,z-13-z W-W,W3-1z-3 Z1 ④式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 ②点 由①点w 且等式两边依次同时变为, ③式(1)左端的式子通常称为四个点 w,1,w2,w3的交比( cross- ratio) 因此,式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性
(1) 3 1 3 2 2 1 3 1 3 2 2 1 − − − − − − = − − − − z z z z z z z z w w w w w w w w 故 3 2 3 1 3 2 3 1 z z z z w w w w − − = − − 同理 ( ) ( ) 1 2 cz d cz d + + ① 式(1)是三对点所确定的唯一的一个映射。 0, ,1. , , 1 2 3 (1) 1 2 3 ⎯ ⎯→ 等式两边依次同时变为 由 且 ② 点 z z z 点w ，w ，w , , , ( ). (1) 1 2 3 w w w w 的交比 cross − ratio ③式 左端的式子通常称为四个 点 ~~~~~~~~~~~~ 所求分式线性映射 因此，式(1)说明分式线性映射具有保交比不变性