高等教育出版社：《概率论与数理统计》教材电子教案（PPT课件）第五章 大数定律与中心极限定理

生第五章大数定理与中心极限定理 “概率是频率的稳定值”。前面已经提到,当 随机试验的次数无限增大时,频率总在其概 率附近摆动,逼近某一定值。大数定理就是 从理论上说明这一结果。正态分布是概率论 中心极限定理阐明,原本不是正态分布的一 般随机变量总和的分布,在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计 中的基本理论,在概率统计中具有重要地位。 上页

第五章 大数定理与中心极限定理 • “概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当 随机试验的次数无限增大时，频率总在其概 率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是 从理论上说明这一结果。正态分布是概率论 中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。 中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一 般随机变量总和的分布，在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计 中的基本理论，在概率统计中具有重要地位

§1大数定理 §1契比雪夫( Chebyshev)不等式 :定理(契比雪夫 Chebyshev不等式):设随机变 量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)2,则对于任 意正数有 工工工 (r-ukess 台P(X-山s/≥1- 上页

§1 大数定理 ( ) 2 2 | |   P X −     • 定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变 量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任 意正数ε,有 ( ) 2 2 1    P X −     − §1.1 契比雪夫(Chebyshev)不等式

证明(1)设X的概率密度为p(x),则有 PxEa}=Jmx)≤∫区x p(x)dx x-≥E x-|≥E 2 (x-)2p(x)dx=-2 上(2)设离散型随机变量X的分布律为P(X=x}=P,则有 列Xs}=∑PX=x} 工工 xk1≥E s∑Px=x}s1∑以x-n= xk-|≥E 上页

 −  −  =     | | {| | } ( ) x P X p x dx −  −  = =     | | {| | } { } k x k P X P X x 证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有 (2)设离散型随机变量X的分布律为P{X=xk}=pk ,则有  −  −      | | 2 2 ( ) | | x p x dx x 2 2 2 2 ( ) ( ) 1      − =  + − x p x dx −  = −      | | 2 2 { } [ ] k x k k P X x x 2 2 2 2 [ ] 1       − k = k xk p

王 A·例:在供暖的季节住房的平均温度为20度标 准差为度试估计住房温度与平均温度的偏差 上的绝对值小于4度的概率的下界 解 221 P{x-204}≤ 424 P{x-204} =1-P{X-204} C 11 4 上页

4 1 4 2 {| 20 | 4} 2 2 P X −   = • 例:在供暖的季节,住房的平均温度为20度,标 准差为2度,试估计住房温度与平均温度的偏差 的绝对值小于4度的概率的下界. 解 P{| X − 20 | 4} =1− P{| X − 20 | 4} 4 3 4 1 1− =

例:已知随机变量Ⅹ的数学期望为E(X)=p,方 差D(X)=a2,当E=2a和E=3时,试用切比雪夫 出不等式求概率(x-川≥)的近似值 解当E=2O时 P(X-川2)≤ 4 当E=3o时 X-≥30)≤Q O 上页

例：已知随机变量 X 的数学期望为 E(X)=μ，方 差 2 D(X ) = ，当 = 2 和 = 3 时，试用切比雪夫 不等式求概率 P( X −   )的近似值. 解 当 = 2时 ( ) ( ) 4 1 2 2 2 2 −   =   P X   当 = 3时 ( ) ( ) 9 1 3 3 2 2 −   =   P X  