第八讲留数
第八讲 留数
§51孤立奇点 口1.定义 2.分类 口3.性质 口4.零点与极点的关系
1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 §5.1 孤立奇点
1.定义 定义若f(x)在zo处不解析,但在z0的某个去心邻域 0<z-o<a内解析,则称z为f(x)的孤立奇点 例如∫(z)=e-z=0为孤立奇点 f∫(x)= z=1为孤立奇点 f(z SIn z=0及z=1m(m=±1,±2,)都是它的奇点
1. 定义 例如 z f z e 1 ( ) = ----z=0为孤立奇点 z f z 1 sin 1 ( ) = ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点 1 1 ( ) − = z f z ----z=1为孤立奇点 定义 0 , ( ) . ( ) , 0 0 0 0 内解析 则 称 为 的孤立奇点 若 在 处不解析 但 在 的某个去心邻域 z z z f z f z z z − ~~~~~~~~~
但∵l 0,∴在z=0不论多么小的去心 n→>0n元 邻域内总有f(z)的奇点存在, 故z=0不是 的孤立奇点 0 这说明奇点未 必是孤立的
x y o 这说明奇点未 必是孤立的。 邻域内 总 有 的奇点存在， 但 在 不论多么小的去心 , ( ) 0, 0 1 lim f z z n n = = → 的孤立奇点。 故 不 是 z z 1 sin 1 = 0
2.分类 以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根 据展开式的不同情况,将孤立点进行分类。考察: d×÷ n SInz +(-1) 十 5 (2n+1) 特点:没有负幂次项 (2) 亡心 +0,n-1 n-1 e ∑,=∑ +1++… 十 H=0 H=0 特点:只有有限多个负幂次项 (3)e=1+x+2+…+z"+ 2! 特点:有无穷多个负幂次项
2. 分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： + + = − + − + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin (1) 2 4 2 n z z z z z n n 特点：没有负幂次项 = = = + + ++ + + − = + − = 2! ! 1 1 ! ! 1 (2) 1 0 1 0 n z z n z z n z z z e n n n n z n 特点：只有有限多个负幂次项 = + − + − ++ z −n + n e z z z ! 1 2! 1 (3) 1 1 2 1 特点：有无穷多个负幂次项