愿L1:已知质点沿x轴作直线适动，其运动方程为x=2m+6曲2-2m·sr。求(1) 质点在运动开始后40s内位移的大小：(2)质点在该时间内所通过的路程。 题1,1解，(1)质点在4.0s内位移的大小 △红=4-=-32m 《2)由-2m2y-6m2-0 AX: 得知质点的换向时划为 5,=2s(1=0不合题意) —x中A 则：邮，=-无=8.0m 30 202 10 x'm 4x:=名-名=0m 所以，质点在4.0s时间间隔内的路程为 s=Ar+Ar:=48m 题12：一质点沿x轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设í=0时，x=0。 试根据已知的图r-f,画出a-r图以及x一：图， 间的-41 题L2解：将曲线分为AB、BC,CD三个过程， 它们对应的加速度值分别为 m=n-=20mg3(匀加速直线运动) In-fa r=0 (匀速直线) m=h二=-10ms(匀减速直线运动) Io"le 根据上述结果即可作出质点的？一！图 在匀变速直线运动中。有 =+W+行 由此：可计算在02和46s时间阿隔内各时刻的位置分别为 0051152☐4455556 m0-7.5-10-7.50404875558760 用描数据点的作图方法，由表中数据可作0-2s和46s时间内的x一（图。在243时 间内，质点是作？=20ms的匀速直线运动。其x一1图是斜率k=20的一段直线。 恩13多如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度 为，滑轮到原船位置的绳长为，试求：当人以匀速拉绳，船运动的速度'为多少？
题 1.1：已知质点沿 x 轴作直线运动，其运动方程为 2 2 3 3 x 2m (6 m s )t (2 m s )t − − = + − 。求（l） 质点在运动开始后 4.0 s 内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题 1.1 解：（1）质点在 4.0 s 内位移的大小 x = x4 − x0 = −32 m （2）由 (12 m s ) (6 m s ) 0 d d 2 3 2 = − = − − t t t x 得知质点的换向时刻为 tP = 2ｓ （t = 0 不合题意） 则： x1 = x2 − x0 = 8.0 m x2 = x4 − x2 = −40 m 所以，质点在 4.0 s 时间间隔内的路程为 s = x1 + x2 = 48 m 题 1.2：一质点沿 x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设 t = 0 时， x = 0 。 试根据已知的图 v − t ，画出 a −t 图以及 x −t 图。 题 1.2 解：将曲线分为 AB、BC、CD 三个过程， 它们对应的加速度值分别为 2 B A B A AB 20 m s − = − − = t t v v a （匀加速直线运动） aBC = 0 （匀速直线） 2 D C D C CD 10 m s − = − − − = t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的 a－t 图 在匀变速直线运动中，有 2 0 0 2 1 x = x + v t + at 由此，可计算在 02 和 46 s 时间间隔内各时刻的位置分别为 t/s 0 0.5 1 1.5 2 4 4.5 5 5.5 6 x/m 0 −7.5 −10 −7.5 0 40 48.7 55 58.7 60 用描数据点的作图方法，由表中数据可作 02 s 和 46 s 时间内的 x－t 图。在 24 s 时 间内，质点是作 v = 20 1 m s − 的匀速直线运动，其 x－t 图是斜率 k = 20 的一段直线。 题 1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度 为 h ，滑轮到原船位置的绳长为 0 l ，试求：当人以匀速 v 拉绳，船运动的速度 v 为多少？
题13解1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为 r)-xr+) 静的运动速度为 d山d山 d山 而收绳的速率v。一少，且因r一一W故 1}w 题13解2：取图所示的极坐州：，则 rt。山 de,dr +r e+F9 山山 是船的径向速度。一巴气是船的横向速度。西 d 业是收绳的速率，由于船速，与径向速度之间夹角 位B,所以 Y--- 由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。 恩14：一升降机以加速度12m-s上升，当上升速度为2.4ms时，有一螺维白升降机 的天花板上松殿，天花板与升降机的底面相距24m:计算：(1)螺丝从天花板落到底面所 需要的时间：(2)螺纶相对升降机外固定柱子的下降距离。 题1.4解1：)以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为 =wr 为=h+- 当螺丝落至底面时，有另“为，即 +2r-h+-r .-005s + (2)螺丝相对升降机外国定柱子下降的距离为 d--为-W+58-076m 恩L4解2上()以升降机为参考系，此时，螺纶相对它的加速度大小。=g+@,螺丝落至底 面时，有
题 1.3 解 1：取如图所示的直角坐标系，船的运动方程为 r(t) = x(t)i + (−h)j 船的运动速度为 ( ) i i i r v t r r h r h t t x t t d d 1 d d d d d d 1/ 2 2 2 2 2 − = = = − = − 而收绳的速率 t r v d d = − ，且因 r = l −vt 0 ，故 ( ) v i 1 / 2 2 0 2 1 − − = − − l vt h v 题 1.3 解 2：取图所示的极坐标(r,)，则 r θ r r d d d d d d d d d d e e e e r v t r t r t r t r t = = + = + r d d e t r 是船的径向速度， θ d d e t r 是船的横向速度，而 t r d d 是收绳的速率。由于船速 v与径向速度之间夹角 位 ，所以 ( ) v i i 1 / 2 2 0 2 1 cos − − = − = − − l vt h v v 由此可知，收绳的速率只是船速沿绳方向的分量。 题 1.4：一升降机以加速度 2 1.22 m s − 上升，当上升速度为 2 2.44 m s − 时，有一螺丝自升降机 的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距 2.74m 。计算：（1）螺丝从天花板落到底面所 需要的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离。 题 1.4 解 1： (1)以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为 2 1 0 2 1 y = v t + at 2 2 0 2 1 y = h + v t − gt 当螺丝落至底面时，有 1 2 y = y ，即 2 0 2 0 2 1 2 1 v t + at = h + v t − gt 0.705 s 2 = + = g a h t (2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为 0.716 m 2 1 2 d = h − y2 = −v0 t + gt = 题 1.4 解 2：(1)以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小 a = g + a ，螺丝落至底 面时，有
0-8-a 「2h ,=0705s (2)由于升降机在，时间内上升的高度为 von 则d=h-=0.716m 题15：一质点P沿率径R=300m的周作匀速率运动，运动一周所需时间为2003，设：=0 时，质点位于O点。按图中所示O坐标系，求(1)质点P在任意时刻的位矢：(2)5s时 的速度和加速度。 恩L5解：如图所示，在Oy坐标系中，因0-三 ，则质点P 的参数方程为 r-Ran停4y-Ram 坐标变换后，在Oy坐标系中有 y=+%=-Rs经1+R 2x x=x'=Rsm 则质点P的位矢方程为 =Rsm亭i+(a亭+ =(3 m)smno s]i+(3m-coso.1s 5s时的速度和加速度分别为 r=业=Rcs2i+Rsj=3rm-g T T T d'r 题16：一质点自原点开始沿抛物线y-缸运动，它在O伍轴上的分速度为一恒量，其值为 ,=40m。，求质点位于x一20m处的速度和加速度， 题16解：因，-40ms为一常数，故a-0.当1-0时，x-0.由.-业积分可得 d x=F() 又由质点的附物线方程，有 y-hrv (2) 由y方向的运动方程可得该方向的速度和加速度分量分别为
( ) 2 2 1 0 = h − g + a t 0.705 s 2 = + = g a h t (2)由于升降机在 t 时间内上升的高度为 2 0 2 1 h = v t + at 则 d = h − h = 0.716 m 题 1.5：一质点 P 沿半径 R = 3.00m 的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为 20.0 s ，设 t = 0 时，质点位于 O 点。按图中所示 Oxy 坐标系，求（1）质点 P 在任意时刻的位矢；（2） 5 s 时 的速度和加速度。 题 1.5 解：如图所示，在 Oxy坐标系中，因 t T 2 = ，则质点 P 的参数方程为 t T t y R T x R 2 , cos 2 = sin = − 坐标变换后，在 Oxy 坐标系中有 t R T t y y y R T x = x = R = + = − + 2 , cos 2 sin 0 则质点 P 的位矢方程为 ( ) ( ) i ( ) ( ) j r i j t t t R T t R T R 1 1 3 m sin 0.1 s 3 m 1 cos 0.1 s 2 cos 2 sin − − = + − = + − + 5 s 时的速度和加速度分别为 i j ( )j r v 1 0.3 m s 2 sin 2 2 cos 2 d d − = = + = t T T t R T T R t i tj ( )i r a 2 2 2 2 2 2 0.03 m s 2 cos 2 2 sin 2 d d − = − + = = − T T t R T T R t 题 1.6：一质点自原点开始沿抛物线 2 y = bx 运动，它在 Ox 轴上的分速度为一恒量，其值为 1 4.0 m s − = x v ，求质点位于 x = 2.0 m 处的速度和加速度。 题 1.6 解：因 vx = 4.0 1 m s − 为一常数，故 ax = 0。当 t = 0 时，x = 0，由 t x v d d x = 积分可得 x v t = x (1) 又由质点的抛物线方程，有 ( ) 2 x 2 y = bx = b v t (2) 由 y 方向的运动方程可得该方向的速度和加速度分量分别为
5-告-2的 4-当-2诚四 当质点位于x=2.0m时，由上述各式可得 P=1+￥，/-h0msh+80ms/ a-ai+aj-016m.sj 题17：质点在0gy平面内运动，其运动方程为r=260曲·%'M+90m-2D曲·%U: 求：(1)质点的轨迹方程：(2》在1-1.0s到1：一200s时间内的平均速度：(2)1-1.00s时 的速度及切向和法向加速度。 题1,7解：(1)由参数方程 x-6200 m.s)y-19.0m-(2.00 m.s) 清去，得质点的轨迹方程 y=l9.0m-050m）x2 (2)在1=1.00s到2=200s时间内的平均速度 ==-5=00ms）i-60ms）万 m-4 (3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为 0)-.+-+业-0ms1-kmms) 0普÷=mm de= 则1=1.00s时的速度 ra.=.00msi-4mm-8）i 切向和法向加速度分别为 -告-反写k-6gmk a =Ja-ae =(1.79m-s)e 恩1,8质点的运动方程为x=(-0m-sr+(30m-s2和y=-l5msM-(20ms2r2, 试求：(1)初速度的大小和方向：(2)加速度的大小和方向 题18解：(1)建度分量式为 =业=-10m-g+0mg d山 =5ms-0ms ,d 当1=0时，m--10ms,%y=15ms,则初速度大小为
bv t t y v 2 y 2 x d d = = (3) 2 x 2 y 2 d d bv t y a 2 = = (4) 当质点位于 x = 2.0 m 时，由上述各式可得 v i j ( )i ( ) j 1 1 x y 4.0 m s 8.0m s − − = v + v = + a i j ( ) j 2 x y 16 m s − = a + a = 题 1.7：质点在 Oxy 平面内运动，其运动方程为 r (2.00 m s ) i [19.0 m (2.00 m s ) ]j 1 2 2 t t − − = + − 。 求：（1）质点的轨迹方程；（2）在 1.00 s t 1 = 到 2.00 s t 2 = 时间内的平均速度；（2） 1.00 s t 1 = 时 的速度及切向和法向加速度。 题 1.7 解：(1)由参数方程 ( ) ( ) 1 2 2 x 2.00 m s t, y 19.0 m 2.00 m s t − − = = − 消去 t 得质点的轨迹方程 ( ) 1 2 y 19.0 m 0.50 m x − = − (2)在 t 1 =1.00 s 到 t 2 = 2.00 s 时间内的平均速度 ( )i ( ) j r r r v 1 1 2 1 2 1 2.00 m s 6.00 m s − − = − − − = = t t t (3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为 v( ) i j i j ( )i ( ) t j t y t x t v v 1 2 x 2.00 m s 4.00 m s d d d d − − = + = + = − a( ) i j ( )j 2 2 2 2 2 4.00 m s d d d d − = + = t y t x t 则 t1 = 1.00 s 时的速度 v( ) ( )i ( ) j 1 1 t 1 s 2.00 m s 4.00 m s − − = t = − 切向和法向加速度分别为 ( ) ( ) t 2 t 2 t t 1 s t x y 3.58 m s d d d d a e v e e 2 − = = = + v = t t v ( ) n 2 n 2 t 2 n a e 1.79m s e − = a − a = 题 1.8：质点的运动方程为 1 2 2 x ( 10 m s )t (30 m s )t − − = − + 和 1 2 2 y ( 15 m s )t (20 m s )t − − = − − ， 试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向。 题 1.8 解：（1）速度分量式为 ( )t t x v 1 2 x 10 m s 60 m s d d − − = = − + ( )t t y v 1 2 y 15 m s 40 m s d d − − = = − 当 t = 0 时，v0x= −10 1 m s − ，v0y = 15 1 m s − ，则初速度大小为
6=+=80mg 设和与x轴的夹角为a。则 tga a=12341 (2)加速度的分量式为 告=0m8-告=0m d山 则加速度的大小为 a=匠+g=2.1ms 设a与x轴的夹角为？则 w经-月 B=3341或逆19 愿L:一质点具有恒定加速度a=6mM+4曲川，在1=0时，其速度为零，位置矢 量-(DmM:求：(1)在任意时刻的速度和位置失量：(2)质点在0g平面上的轨迹方程。 并画出轨迹的示意图。 题1.9解：由如速度定义式，根据初始条件=0时=0，积分可得 =j后=。6msi+4ms 学=(6ms3)i+(4m-s3)1i 又由一出及初始条作t0时，。·00m以.积分可得 =后w=瓜6msi+4msjm F-0m+3m-%y1i+2ms)广U 由上述结果可得质点运动方程的分量式，即 本=10+6曲g） 3g2r-200 y-km.s) 0 消去参量，可得运动的轨迹方程 3y=2x-20m 这是一个直线方程，直线斜率★=史=a= 方·《=3产4打。轨迹如图所示。 思11h飞机以10m~%的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品 投到前方某一地面目标处。问：(1)此时目标在飞机下方前多近？(2)投故物品时，驾驶
2 1 0y 2 0 0x 18.0 m s − v = v + v = 设 v0 与 x 轴的夹角为，则 2 3 tg 0y 0x = = − v v =123 41 (2)加速度的分量式为 y 2 y x 2 x 40m s d d 60 m s , d d − − = = = = − t v a t v a 则加速度的大小为 2 2 y 2 x 72.1m s − a = a + a = 设 a 与 x 轴的夹角为，则 3 2 tg x y = = − a a = −33 41( 326 19) 或 题 1.9：一质点具有恒定加速度 a (6 m s )i (4 m s ) j −2 −2 = + ，在 t = 0 时，其速度为零，位置矢 量 r (10 m)i 0 = 。求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在 Oxy 平面上的轨迹方程， 并画出轨迹的示意图。 题 1.9 解：由加速度定义式，根据初始条件 t0 = 0 时 v0 = 0，积分可得 t t v t t d d [(6 m s (4 m s ) ]d 0 2 2 0 0 − − v = a = )i + j v (6 m s ) ti (4 m s ) t j −2 −2 = + 又由 dt dr v = 及初始条件 t = 0 时，r0 = (10 m)i，积分可得 t t t t r t t d d [(6 m s ) (4 m s ) ]d 0 2 2 0 0 − − r = v = i + j r [10 m (3 m s ) ] i [(2 m s ) ]j 2 2 2 2 t t − − = + + 由上述结果可得质点运动方程的分量式，即 ( ) 2 2 x 10 m 3 m s t − = + ( ) 2 2 y 2 m s t − = 消去参数 t，可得运动的轨迹方程 3y = 2x−20m 这是一个直线方程，直线斜率 3 2 tan d d = = = x y k ， = 33 41 。轨迹如图所示。 题 1.10：飞机以 1 100 m s − 的速度沿水平直线飞行，在离地面高为 100m 时，驾驶员要把物品 投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶