题81：一真空二极管，其主要构作是一个半径R,=50x10一m的圆柱形阴极和一个套在阴 极外，半径尾=4.5×0■的同触简形阳楼。阳极电势比阴极电势高30V,阴极与阳极 的长度均为L=25x10m。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：(1)该电子到达阳极 时所具有的动能和速率：(2)电子刚从阳极射出时所受的力。 题界1分析：()由于半径尾<L,因此可将电极视作无限长圆柱面，阴楼和购极之饲的 电场具有轴对称性。从朗极射出的电子在电场力作用下从静止开始如速，电于所获得的动能 等于电场力所作的功。也即等于电子势能的战少。由此，可求得电子到达图极时的动能和速 率。 (2)计算园极表面附近的电场强度，由F■gE求出电子在阴极表面所受的电场力。 解：《1)电子到达阳极时，势能的诚少量为 Em=eP=48×I07J 2R 由于电子的初始速度为零，故 Ea-E.=-E,=48×I0-7J 因此电子到达阳极的速率为 (2)两极间的电场强度为 两极同的电势差 P-收E山-可吹 2。 负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度 2x,尼5=。尼代 E=- R 电子在阴极表面受力 F=-eE=437x10-"e,N 这个力尽管很小，但作用在质量为9,1x0”k短的电子上，电子获得的加速度可达重力加 速度的5x105倍。 题82：一导体球半径为R1,外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q, 而内球的电势为。求北系统的电势和电场的分布。 恩82分析，不失一般情况。假设内导体球带电，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所 示，依黑电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布：并由，一厂E山或电势叠加零 出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量厂。Q、R、兄表示： 题82解根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布星球对称，取同心球面为高斯面，由 高斯定理E:dS-E小4知2一∑g/%,根据不同半径的高斯面内的电背分布。解得各区域
题 8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径 R1 = 5.010−4 m 的圆柱形阴极和一个套在阴 极外，半径 4.5 10 m 3 2 − R = 的同轴圆筒形阳极。阳极电势比阴极电势高 300 V，阴极与阳极 的长度均为 L = 2.510−2 m。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：（1）该电子到达阳极 时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阳极射出时所受的力。 题 8.1 分析：（1）由于半径 R1 L ，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的 电场具有轴对称性。从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能 等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。由此，可求得电子到达阳极时的动能和速 率。 （2）计算阳极表面附近的电场强度，由 F = qE 求出电子在阴极表面所受的电场力。 解：（1）电子到达阳极时，势能的减少量为 4.8 10 J 17 ep − E = −eV = − 由于电子的初始速度为零，故 4.8 10 J 17 ek ek ep − E − E = −E = 因此电子到达阳极的速率为 ek 7 1 1.03 10 m s 2 2 − = = = m eV m E v （2）两极间的电场强度为 r 2 0 E e r = − 两极间的电势差 1 2 0 0 ln 2 d 2 d 2 1 2 1 R R r r V R R R R = = − = − E r 负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度 r 1 2 1 r 0 1 ln 2 E e e R R R V R = − = 电子在阴极表面受力 F E er N 14 4.37 10 − = −e = 这个力尽管很小，但作用在质量为 9.1110－31 kg 的电子上，电子获得的加速度可达重力加 速度的 51015 倍。 题 8.2：一导体球半径为 R1，外罩一半径为 R2 的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为 Q， 而内球的电势为 V0。求此系统的电势和电场的分布。 题 8.2 分析：不失一般情况，假设内导体球带电 q ，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所 示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。并由 = p v E dl P 或电势叠加求 出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量 V0、Q、R1、R2 表示。 题 8.2 解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称。取同心球面为高斯面，由 高斯定理 = ( ) = 0 2 E dS E r 4r q ，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域
内的电场分布为 r<时， E=0 R<re时，E r>时，E)-O±g 4 由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。<R1时， -E-广66品 风<，5=广E出=广EE=品品 >时，-广Ed山-t 4「 也可以从球面电势的叠加求电势的分泰。在导体球内(<R,)》 在导体球和豫壳之间(R<R) ⅓品品 在球壳外(>品) 5=+里 4厘/ 由题意 %=%= 品品 得g4心-是0 代人电场、电势的分布得 7<时，耳-0- R《F《R时，E:= ,r-坐，R2 4R.r 祭5=华，傀 >时，与=华，®-R2 恩83：在一半径为局=60Gm的金属球A外面套有一个同心的金属绿壳B。己知球壳B的 内、外半径分别为R2=80cm,R=100em。设球A带有总电荷Q,=30x0C,球壳B 带有总电荷②一20x10+C,()求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的 电势：(2)将球壳B接地然后新开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内，外表面上所 带的电荷以及球A和球壳B的电势。 题83分析：(1)根据静电感应和静电平衡时导体表面电背分布的规律，电荷Q均匀分布 在球A表面，球壳B内表面带电荷-①，外表面带电荷公+Q、,电荷在导体表面均匀分布
内的电场分布为 r R1时 ， E1 (r) = 0 R1 r R2时 ， ( ) 2 0 2 4 r q E r = r R2时 ， ( ) 2 0 2 4 r Q q E r + = 由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。r<R1 时， 0 1 0 2 1 1 2 3 4 4 d d d d 2 2 1 1 R Q R q V R R R R r r = = + + = + E l E l E l E l R1 r R2时 ， 0 0 2 2 2 3 4 4 d d d 2 2 R Q r q V R R r r = = + = + E l E l E l r R2时 ， r Q q V r 0 3 3 4 d + = = E l 也可以从球面电势的叠加求电势的分布。在导体球内（r<R1） 0 1 0 2 1 4 4 R Q R q V = + 在导体球和球壳之间（R1<r<R2） 0 0 2 2 4 4 R Q r q V = + 在球壳外（r>R2） r Q q V 0 3 4 + = 由题意 0 1 0 2 1 0 4 4 R Q R q V V = = + 得 Q R R q RV 2 1 = 4 0 1 0 − 代人电场、电势的分布得 r R1时 ， 1 1 0 E = 0; V =V R1 r R2时 ， ( ) R r r R Q r R V V R r R Q r R V E 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 2 1 0 2 4 4 − = − ； = + r R2时 ， ( ) ( ) R r R R Q r R V V R r R R Q r R V E 0 2 1 0 2 1 2 3 0 2 2 1 2 1 0 3 4 4 − = + − = + ； 题 8.3：在一半径为 R1 =6.0 cm 的金属球 A 外面套有一个同心的金属球壳 B。已知球壳 B 的 内、外半径分别为 R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。设球 A 带有总电荷 3.0 10 C 8 A − Q = ，球壳 B 带有总电荷 2.0 10 C 8 B − Q = 。（l）求球壳 B 内、外表面上所带的电荷以及球 A 和球壳 B 的 电势；（2）将球壳 B 接地然后断开，再把金属球 A 接地，求球 A 和球壳 B 内、外表面上所 带的电荷以及球 A 和球壳 B 的电势。 题 8.3 分析：（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷 QA 均匀分布 在球 A 表面，球壳 B 内表面带电荷 −QA ，外表面带电荷 QB +QA ，电荷在导体表面均匀分布
由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。 (2)导体楼地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B接地后，外 表面的电荷从大地流入的负电载中和，球壳内表面带电-Q,· 断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零。电势的变化必将引起电 荷的置新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A蒂电，根据静电平衡 时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应9·外表面带电a一Q。此时球A的电 势可表示为 收器 由'。=0可解出球A所带的电荷？。，再由蒂电球面电劳的叠如，可求出球A和球壳B的电 势， h 的 D 解：(1)由分析可知，球A的外表而带电3.0x0*C,球壳B内表面带电-30x0*C,外 表面箭电50x0·C。由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为 K=0+0+g±0=56x10v 4,4c,4年。R, %,-g+g.45xi0v 4 R (2)将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A蒂电94，球A和球壳B的电势为 =片 +,=9++4=0 %-0+g 4oRs RRO 解得4“RR+RR-RR =212x104C 即球A外表面带电22×0C,由分析可性得球壳B内表面带电-22×0·C,外表面带 电-09×0·C。另外球A和球壳B的电势分别为 r.=0 =-7.92×I02V 导体的接地使各导体的电劳分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷 将重新分布，以建立新的静电平衡
由带电球面电势的叠加可求得球 A 和球壳 B 的电势。 （2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳 B 接地后，外 表面的电荷从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电−QA 。 断开球壳 B 的接地后，再将球 A 接地，此时球 A 的电势为零。电势的变化必将引起电 荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球 A 带电 qA，根据静电平衡 时导体上电荷的分布规律，可知球壳 B 内表面感应−qA，外表面带电 qA−QA。此时球 A 的电 势可表示为 0 3 A A 0 2 A 0 1 A A 4 4 4 R q Q R q R q V − + − = + 由 VA = 0 可解出球 A 所带的电荷 qA ，再由带电球面电势的叠加，可求出球 A 和球壳 B 的电 势。 解：（1）由分析可知，球 A 的外表面带电 3.0 10 C −8 ，球壳 B 内表面带电 3.0 10 C −8 − ，外 表面带电 5.0 10 C −8 。由电势的叠加，球 A 和球壳 B 的电势分别为 5.6 10 V 4 4 4 3 0 3 A B 0 2 A 0 1 A A = + + − = + R Q Q R Q R Q V 4.5 10 V 4 3 0 3 = + = R Q Q V A B B （2）将球壳 B 接地后断开，再把球 A 接地，设球 A 带电 qA，球 A 和球壳 B 的电势为 0 4 4 4 0 3 A A 0 2 A 0 1 A A = − + + − = + R Q q R q R q V 0 3 A A B 4 R Q q V − + = 解得 2.12 10 C 8 1 2 2 3 1 3 1 2 A − = + − = R R R R R R R R Q q 即球 A 外表面带电 2.12 10 C −8 ，由分析可推得球壳 B 内表面带电 2.12 10 C −8 − ，外表面带 电 0.9 10 C −8 − 。另外球 A 和球壳 B 的电势分别为 VA = 0 7.92 10 V 2 VB = − 导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷 将重新分布，以建立新的静电平衡
题84：地缘和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100km,试估算地球一电离层 系统的电容。设地球与电离层之间为真空。 题84解：由于地球半径R=6打×10m；电离层率径究-1G0×0m+R=6.47x10心m,根 据球形电容器的电容公式，可得 ,R民-48×03F C=48,R-R 题85：两线输电线，其导线半径为3.26mm,两线中心相距05m,线位于地面上空很高处， 因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容 题8.5解：两输电线的电势差 U-4ind-R 。R 因此，输电线单位长度的电容 C离，a画， R R 代人数据 C-4.86xl0F 恩&6：由两块相距0.50mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属金K 内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25mm,金属板面积为30mm×40mm求：(1) 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍：(2)若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相醒， 问此时的电容又为原米的几倍。 K 题86分析：薄金属板A、B与金属金一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两 导体同距离较小。电容器可视为平版电容器。通过分析等效电路图可求得A,B间的电容。： 解：(1)如图，由等效电路可知 C-C+G-C+C G+C 由于电容器可视作平版电容墨，且d,=2d=2d,故C=C,=2C,因此A,B间的 总电容 C=2C (2)若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于C,(或者C,)极版短接，其电容 为零，则总电容 C=C 愿&7：在A点和B点之间有5个电容器，其进接如图所示。(1)求A,B两点之间的等效 电容：(2)若A、B之间的电势差为12V,求Uc,D和a· 题8了解：《1)由电容些的串、并联，有 Cac=C+C:=12F
题 8.4：地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为 100 km，试估算地球－电离层 系统的电容。设地球与电离层之间为真空。 题 8.4 解：由于地球半径 6.37 10 m 6 R1 = ；电离层半径 1.00 10 m 6.47 10 m 6 1 5 R2 = + R = ，根 据球形电容器的电容公式，可得 4 4.58 10 F 2 2 1 1 2 0 − = − = R R R R C 题 8.5：两线输电线，其导线半径为 3.26 mm，两线中心相距 0.5 m，线位于地面上空很高处， 因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容 题 8.5 解：两输电线的电势差 R d R U − = ln 0 因此，输电线单位长度的电容 R d R d R U C 0 /ln 0 /ln − = = 代人数据 4.86 10 F −12 C = 题 8.6：由两块相距 0.50 mm 的薄金属板 A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒 K 内，金属盒上、下两壁与 A、B 分别相距 0.25 mm，金属板面积为 30mm40mm 求：（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相碰， 问此时的电容又为原来的几倍。 题 8.6 分析：薄金属板 A、B 与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两 导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可求得 A、B 间的电容。。 解：（1）如图，由等效电路可知 1 2 3 2 3 23 1 C C C C C C C C + + = + = 由于电容器可视作平板电容器，且 d1 = 2d2 = 2d3 ，故 C2 = C3 = 2C1 ，因此 A、B 间的 总电容 C = 2C1 （2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于 C2 （或者 C3 ）极板短接，其电容 为零，则总电容 C = 3C1 题 8.7：在 A 点和 B 点之间有 5 个电容器，其连接如图所示。（1）求 A、B 两点之间的等效 电容；（2）若 A、B 之间的电势差为 12 V，求 UAC、UCD 和 UDB 。 题 8.7 解：（1）由电容器的串、并联，有 CAC = C1 +C2 =12 μF
CoD=C+C=8 求得等效电容C=4F C uF C:6uF (2》由于Qx=Qu=Qw=Qu'得 6-24t CLU-4V Une"C Uo-S±U-6v Co C3=8FC,=2F CAU=2V Uoe=C 题88盖革一米粉管可用米测量电离幅射，该管的基本结构如图所示，一竿径为R的长直 导线作为一个电极，半径为：的同轴圆柱简为另一个电极。它们之间充以相对电容率6，=1 的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极何有电势差时，极板间有电流，从面 可测出电离粒子的数量。如以E表示半径为R的长直导线附近的电场强度。(1)求极板间 电势的关系式：(2》若后，=20×10V:m,R=0.0m,民，=200m,两极板间的电势差为 多少？ 题88解：(1)由上述分析，利用高新定理可得E2-上L, 则两极板间的电场强度 导线表面(r一R,)的电场强度 五-2s凡 两极板间的电势差 u-广E-*5 R (2)当E=20×10°V-m,及=030mm.R2=20.0mm时， U=2.52x10V 题&勿一片二氧化钛品片，其面积为1.0cm2,厚度为0.10mm。把平行平版电容器的两 级板据贴在品片两侧。(1)求电容器的电容：(2)当在电容器的两板上加如上12V电压时， 极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？此时自由电稼和极化电转的面密度各为多 少？《(3)求电容器内的电场出度 思89解：(1)查表可知二氧化钛的相对电容率6，=3，放充满此介质的平板电容器的电 容 C-6-13x0F (2)电容器加上)=12V的电压时，极板上的电荷 Q=CU-1刻xl04C 极板上白由电黄面密度为
CCD = C3 +C4 = 8 μF 求得等效电容 CAB = 4 μF （2）由于 QAC = QCD = QDB = QAB ，得 AB 4 V AC AB AC = U = C C U AB 6 V CD AB CD = U = C C U 2 V C C AB CD AB UDB = U = 题 8.8：盖革—米勒管可用来测量电离辐射。该管的基本结构如图所示，一半径为 R1 的长直 导线作为一个电极，半径为 R2 的同轴圆柱筒为另一个电极。它们之间充以相对电容率 r 1 的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极间有电势差时，极板间有电流，从而 可测出电离粒子的数量。如以 E1 表示半径为 R1 的长直导线附近的电场强度。（1）求极板间 电势的关系式；（2）若 2.0 10 V m , 1 0.30 mm, 2 20.0 mm 6 1 1 = = = − E R R ，两极板间的电势差为 多少？ 题 8.8 解：（1）由上述分析，利用高斯定理可得 E rL L 0 1 2 = ， 则两极板间的电场强度 r E 2 0 = 导线表面（r = R1）的电场强度 0 1 1 2 R E = 两极板间的电势差 1 2 1 1 0 d ln 2 d 2 1 2 1 R R r R E r U R R R R = = = E r （2）当 2.0 10 V m , 1 0.30 mm, 2 20.0 mm 6 1 1 = = = − E R R 时， 2.52 10 V 3 U = 题 8.9：一片二氧化钛晶片，其面积为 1.0 cm2，厚度为 0.10 mm。 把平行平板电容器的两 级板紧贴在晶片两侧。（1）求电容器的电容；（2）当在电容器的两板上加上 12 V 电压时， 极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多 少？（3）求电容器内的电场强度. 题 8.9 解：（1）查表可知二氧化钛的相对电容率 r =173 ，故充满此介质的平板电容器的电 容 1.53 10 F r 0 −9 = = d S C （2）电容器加上 U =12 V 的电压时，极板上的电荷 1.84 10 C −8 Q = CU = 极板上自由电荷面密度为