X2分布的数学期望与方差 (补充) 设x2~x2(n),则E(x2=n,D(x2=2n. X2分布的可加性 设x~X(,2~x2n),且，相互独立， 则x+2~x2(n,+n,)
χ 2分布的数学期望与方差（补充） 设χ2～χ2(n)，则E(χ2)=n，D(χ2)=2n. χ 2分布的可加性 设 22 22 1 12 2 χχ χχ ~ ( ), ~ ( ), n n 且 2 2 1 2 χ , χ 相互独立， 则 22 2 1 2 12 χχ χ + + ~( ) n n
性质设(X,X2,…,X)为取自正态总体XN(4,o2) 的样本，则 在x ~x) 证明由已知，有 XN(4,o2)且X1,X2,…,Xn相互独立， 则 X-严、N0,1)且各X二相互独立， 由定义5.3得 r-
性质 设 (X1 ， X2 ， … ， Xn )为取自正态总体X～ N(μ ，σ 2 ) 的样本，则 2 1 2 2 ( ~ ) ( ) n i i X χ n σ μ = ∑ − 证明 由已知，有 Xi ～ N(μ ， σ 2 ) 且X1 ， X2 ， … ， Xn相互独立， 则 ~ (0,1) Xi N σ − μ 且各 Xi σ − μ 相互独立， 由定义5.3 得 2 2 2 1 2 1 2 ( ~ ) ( ). n n i i i i X X χ χ n σ σ μ μ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − = = ∑ ∑
定理5.1设(X1,X2,…,X)为来自正态总体 XN(u,σ)的样本，则 ()样本均值X与样本方差S2相互独立； n-10)s2 ∑(，-2 (2) ~X2n-1) (5.8)式的自由度为什么是n-1? 从表面上看，∑化，-)是n个正态随机变量X-X的平方和， 但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系： 之X-为=2x-x-0
定理5.1 设 (X1 ， X2 ， … ， Xn )为来自正态总体 X～ N(μ ，σ 2 )的样本，则 (1) 样本均值 与样本方差 S X 2相互独立； 2 2 1 2 2 2 ( ) ( 1) ~ ( 1) n i i X X n S χ n σ σ = − − = − ∑ (2) (5.8)式的自由度为什么是 n - 1 ？ 从表面上看， 2 1 ( ) n i i X X = ∑ − 是 n个正态随机变量 Xi − X的平方和， 但实际上它们不是独立的， 它们之间有一种线性约束关系： 1 1 ( ) n n i i i i X X X nX = = ∑ ∑ −= − =0
这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取 值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确 定了，故在这n项平方和中只有n-项是独立 的.所以所求式子的自由度是n-1
这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取 值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确 定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立 的.所以所求式子的自由度是n-1
定理 设(X,X2,…,Xm)为来自正态总体 XN(4,o)的样本，则 (1)样本均值X与样本方差S2相互独立； 2 u-1s ∑X,-02 02 —~X2n-1) 与以下补充性质的结论比较： 性质设(X1,X2,…,X)为取自正态总体 2X,-四 XN(4,o2)的样本，则 -xn)
定理 设 (X1 ， X2 ， … ， Xn )为来自正态总体 X～ N(μ ，σ 2 )的样本，则 (1) 样本均值 与样本方差 S X 2相互独立； 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) 1 ) 1 ~ ( n i i X n S X χ n σ σ = − − = − ∑ (2) 与以下补充性质的结论比较： 性质 设 (X1 ， X2 ， … ， Xn )为取自正态总体 X～ N(μ ，σ 2 )的样本，则 2 1 2 2 ( ~ ) ( ) n i i X χ n σ μ = ∑ −