一花大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数学分析(1)考试性质:考试试卷类型 考试班级:数学,信息 考试方法:闭卷命题教师 选择题(每小题3分,共计15分) 1.(A);2.(D);3.(A);4.(B);5.(D) 二、判断题(每小题3分共计15分) 1.(×);2.(√);3.(√);4.(√);5.(√) 三、证明或计算下列极限(每小题5分,共计20分) 1.用定义证明:lim-=0 解:VE>0,由 ≤E有 3分 -In 2 所以取N=[,]+1,…… 4分 则当n>N时恒有 2-6,依定义lmn=0。… 5分 2.计算lin 解:原式=lim{1+22}|1+ 4分 5分 3.计算li x-sIn x 解:原式=lim CoS x 2分 sIn x 5分 4.证明:若a0=√2,an1=√2+an,n=012…则数列{an}收敛,并求其极限。 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第 一 学期 课程名称：数学分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分） 1．（A）；2．（D）；3．（A）；4．（B）；5．（D） 二、判断题（每小题 3 分共计 15 分） 1．（×）；2．（√）；3．（√）； 4．（√）；5．（√） 三、证明或计算下列极限（每小题 5 分，共计 20 分） 1．用定义证明： 0 2 1 lim = n n 解： > 0，由 = n n 2 1 0 2 1 有 ln 2 ln > n ，………………………………3 分 所以取 ] 1 ln 2 ln [ + = N ，……………………………………………………………4 分 则当n > N 时恒有 0 < 2 1 n ，依定义 0 2 1 lim = n n 。……………………………5 分 2．计算 2 1 1 lim 2 2 x x x x + + 解：原式＝ + + + + + + 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 lim 1 2 x x x x ………………………………4 分 2 = e …………………………………………………………………………………5 分 3．计算 3 0 sin lim x x x x 解：原式＝ 2 0 3 1 cos lim x x x ，…………………………………………………………2 分 x x x 6 sin lim 0 = ……………………………………………………………………………4 分 ＝ 6 1 。………………………………………………………………………………5 分 4．证明：若a0 = 2 ，an+1 2 += an ，n = 0,1,2,则数列{ an }收敛，并求其极限。
证明:因为0<a<2,设0<an<2,则0<an=√2+an<√2+2=2,所以对 切n有:0< 2分 2+ 0,即原数列单调递增上 方有界,所以必有极限,设lima=A 4分 则对等式an=√2+an两边取极限得:A2=2+A,即A=-12,因为an>0,所 以负根舍去,所以A=2。……………………………………………………………5分 四、求下列导数(每小题5分,共计20分) y 2 5分 y In x 解:1ny=[n(x+1)+ln(x-1)+x2-lnx3-ln(x+2)- In sin x],…………1分 两边对x求导得:-y3=2( 3 CoSx +2 3分 所以:y= COS x 4x(x+2)Sinx x+1x 5分 xx+2 sinx 3. sin(x +y)+y=2 解:两边对x求导得:cos(x+y)1+y)+y=2xln2,… 2分 解之得:y= 2-In 2-cos(x+y) 5分 1+ cos(x+y) 解 5分 d x ece 四、证明:如果lmf(x)=存在,则必存在>0,M>0,使当0<x-a<δ时 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 证明：因为0 2 < a0 < ，设0 an << 2 ，则0 < an+1 = 2 + an < 2 + 2 = 2 ，所以对一 切n 有：0 << 2 an 。………………………………………………………………2 分 0 2 (2 )(1 ) 2 2 2 2 2 1 > + + + = + + + + = + = n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ，即原数列单调递增上 方有界，所以必有极限，设 an A n = lim 。…………………………………………4 分 则对等式an+1 2 += an 两边取极限得： A = 2 + A 2 ，即 A = 1,2，因为an > 0，所 以负根舍去，所以 A = 2 。…………………………………………………………5 分 四、求下列导数 dx dy （每小题 5 分，共计 20 分） 1． ln( 1) 2 y = + xx 解： 1 1 ) 2 1 2 (1 1 1 ' 2 2 2 = + + = x x x x x y …………………………………5 分 2． 4 3 2 ( 2)sin ( 1) 2 x x x x e y x + = 解： [ln( 1) ln( 1) ln ln( 2) ln sin ] 4 1 ln 2 3 y = x + + x + x x x + x ，………………1 分 两边对 x 求导得： ) sin cos 2 3 1 2 1 1 1 1 ( 4 1 ' 1 3 2 x x x x x x x x y y + + + + = ，……………3 分 所以： ) sin cos 2 3 1 2 1 1 1 1 ( ( 2)sin ( 1) 4 1 ' 4 3 2 2 x x x x x x x x x x x e y x + + + + + = ……………5 分 3． x sin(x + y y =+ 2) 解：两边对 x 求导得：cos( )(1 ') ' 2 ln 2 x x + y + y y =+ ，…………………………2 分 解之得： 1 cos( ) 2 ln 2 cos( ) ' x y x y y x + + + = ……………………………………………………5 分 4． = = 2 sin t t y e x e 。 解： t t t t t t e te e e e t dx dy cos 2 cos 2 2 2 = = …………………………………………………………5 分 四、证明：如果 f x l x a = lim ( ) 存在，则必存在 > 0，M > 0，使当0 < ax < 时，
恒有|(x)<M。(8分) 证明:因为lmf(x)=1存在,所以依定义对6=1>0,36>0使当0<x-d<6时 恒有(x)-1<60=1,…… 5分 从而当0<x-a<6时,(x)=(x)-1+1≤(x)-1+1<1+… 7分 取M=1+即可。 8分 五、证明:inf{an+bn}≥inf{an}+inf{b (6分) 证明:依定义an≥sup{an},bn≥sup{bn},… 2分 从而:an+bn≥inf{an}+intf{bn},即:inf{an}+intf{bn}是an+bn的下界,…4分 下确界大于下界,所以有:inf(an+bn}≥inf{an}+inf{bn}… 6分 六、证明:f(x)=√x在(1,+∞)上一致连续。(6分) 证明:因为当x2,x"∈(1,+∞)时 f(r)-f(x") ,…………………3分 故知对vE>0,取6=26,则当xx1<6时,恒有f(x)-f(x")<,依定义知 f(x)在(1,+∞)上一致连续。………… 6分 七、用有限覆盖定理证明聚点定理:任何有界无限数集E至少有一个聚点。(10 分) 证明:用反证法。 1分 因为E有界,所以可设x∈E有a≤x≤b。如果E无聚点,则对任意c∈R,都存 在δ,使得U(c,)中最多只有有限个E中的点。……… 4分 于是对每个x∈[a,b],都有δ,使得U(x,62)中最多只有有限个E中的点。…6分 而开区间集S={U(x,)x∈[a,b}显然覆盖了闭区间[a,b]。依有限覆盖定理知S 中必有有限个开区间覆盖了闭区间[a,b]。… 8分 设它们是:U(x1,Dn),U(x2,6n)…U(xn,0,)。于是它们必然也覆盖了E,而每 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 恒有 f (x) < M 。（8 分） 证明：因为 f x l x a = lim ( ) 存在，所以依定义对 1 0 0 = > ， > 0 使当0 < x a < 时 恒有 f (x) l < 0 = 1，…………………………………………………………5 分 从而当0 < x a < 时， f (x) = f (x) l + l f (x l + l < 1) + l ……………7 分 取 M = 1+ l 即可。…………………………………………………………………8 分 五、证明：inf{ } inf{ } inf{ } an + bn an + bn 。 （6 分） 证明：依定义 sup{ } an an ， sup{ } bn bn ，……………………………………2 分 从而： inf{ } inf{ } an + bn an + bn ，即：inf{ } inf{ } an + bn 是an + bn的下界，…4 分 下确界大于下界，所以有：inf{ } inf{ } inf{ } an + bn an + bn ……………………6 分 六、证明： f (x) = x 在(1,+)上一致连续。 （6 分） 证明：因为当 x', x" (1,+)时， 2 ' ' ' ' ' ' ' " ( ') ( ' ') ' ' ' x x x x x x f x f x x x + = = ，……………………3 分 故知对 > 0，取 = 2 ，则当 x'x '' < 时，恒有 f (x') (xf ' )' < ，依定义知 f (x) 在(1,+)上一致连续。………………………………………………………6 分 七、用有限覆盖定理证明聚点定理：任何有界无限数集 E 至少有一个聚点。 （10 分） 证明：用反证法。……………………………………………………………………1 分 因为 E 有界，所以可设x E 有a x b。如果 E 无聚点，则对任意c R，都存 在 c ，使得 ( , ) c U c 中 最多只有有限个 E 中的点。…………………………4 分 于是对每个 x [a,b]，都有 x ，使得 ( , ) x U x 中最多只有有限个 E 中的点。…6 分 而开区间集 S {U(x, ) | x [ ,ba ]} = x 显然覆盖了闭区间[a,b]。依有限覆盖定理知 S 中必有有限个开区间覆盖了闭区间[a,b]。………………………………………8 分 设它们是： ( , ) 1 1x U x ， ( , ) 2 2 x U x …… ( , ) n n x U x 。于是它们必然也覆盖了 E，而每
个U(x,6)中都只有有限个E中的点,因而n个区间中最多只有有限个E中的点 注意到它们覆盖了E,所以E中最多只有有限个点,这与E是无限集矛盾。所以E 必有聚点。… 分 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 个 ( , ) k k x U x 中都只有有限个 E 中的点，因而n 个区间中最多只有有限个 E 中的点， 注意到它们覆盖了 E，所以 E 中最多只有有限个点，这与 E 是无限集矛盾。所以 E 必有聚点。…………………………………………………………………………10 分