安柔油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第一学期 课程名称:数学分析(1)考试性质:考试试卷类型 考试班级:数学,信息 考试方法:闭卷命题教师 选择题(每小题3分,共计15分) 1.(C);2.(B);3.(B);4.(C);5.(D) 二、判断题(每小题3分共计15分) 1.(×);2.(×);3.(√);4.(×);5.(×) 三、证明或计算下列极限(每小题5分,共计20分) 1.用定义证明:lim(√n+1-√m)=0 解:VE>0,由√n+1 ≤—知,只要一<E,即n>一则可 使n+1-Vm<E 3分 所以取N=[2]+1 4分 则当n>N时恒有√n+1-Ⅶn<E,依定义lm(√n+1-√n)=0。 ………5分 2.计算li x3 解:原式=lim{1+ 2 分 sin -+ arctan 3.计算lim-x 解:因为x→>+∞时,—是无穷小量, 3分 而另外一个和式是有界变量, 4分 所以原式=0。………………………………5分 第1页共4页
第 1 页 共 4 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200 /200 学年第 一 学期 课程名称：数学分析（1） 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级：数学，信息 考试方法：闭卷 命题教师： 一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分） 1．（C）；2．（B）；3．（B）；4．（C）；5．（D） 二、判断题（每小题 3 分共计 15 分） 1．（×）；2．（×）；3．（√）； 4．（×）；5．（×） 三、证明或计算下列极限（每小题 5 分，共计 20 分） 1．用定义证明：lim( +1 ) = 0 n n n 解： > 0，由 n n n n n 1 1 1 1 + + + = 知，只要 < n 1 ，即 2 1 n > 则可 使 n +1 n < ，………………………………………………………………3 分 所以取 ] 1 1 [ 2 = + N ，………………………………………………………………4 分 则当n > N 时恒有 n +1 n < ，依定义lim( +1 ) = 0 n n n 。……………5 分 2．计算 3 1 1 lim 3 3 x x x x + + 解：原式＝ + + + + + + 2 1 3 2 2 1 3 1 2 1 1 2 lim 1 3 x x x x ………………………………4 分 2 = e …………………………………………………………………………………5 分 3．计算 2 arctan 1 sin lim x x x x + + 解：因为 x + 时， 2 1 x 是无穷小量，…………………………………………3 分 而另外一个和式是有界变量，……………………………………………………4 分 所以原式＝0。……………………………………………………………………5 分
4.证明:若an=a>0,an1=an+2|n=012…则数列{an}收敛,并求其极 限 证明:因为a=2+乙)22所以 ≤0,即原数列单调递减下方 有界 3分 所以必有极限,设 lim a=A。 4分 则对等式an1=1|an+2两边取极限得:4=1(4+2),即4=2,A=2 因为an>√2,所以负根舍去,所以A=√2。………………………5分 四、求下列导数2(每小题5分,共计20分) 解:y=—,(1 x+x+ (x-1) y x+Isin x 解:lny=[nx+ln(x-1)-ln(x3+1)-ln(sinx)],…… 1分 两边对x求导得 3 3分 3xx-1 13 所以:y3= 「x(x-1) 5分 3V(x'+1)sin x xx sIn x 解:原等式化为:eynx+eny=1,两边对x求导得: 1分 e(ylnx+2)+eh(ny+xy)=0,即x(ylnx+y)+y(ny+xy)=0…3分 第2页共4页
第 2 页 共 4 页 4．证明：若 0 a0 = a > ， + = + n n n a a a 2 2 1 1 n = 0,1,2,则数列{ an }收敛，并求其极 限。 证明：因为 2 2 2 1 1 + = + n n n a a a 所以 0 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 = = + = + n n n n n n n n n a a a a a a a a a ，即原数列单调递减下方 有界，………………………………………………………………………………3 分 所以必有极限，设 an A n = lim 。…………………………………………………4 分 则对等式 + = + n n n a a a 2 2 1 1 两边取极限得： ) 2 ( 2 1 A A A += ，即 2 2 A = ， A = ± 2 ， 因为an > 2 ，所以负根舍去，所以 A = 2 。……………………………………5 分 四、求下列导数 dx dy （每小题 5 分，共计 20 分） 1． ln( 1) 2 y = + xx + 解： 1 1 ) 2 1 2 (1 1 1 ' 2 2 2 + = + + + + = x x x x x y 2． 3 3 ( 1)sin ( 1) x x x x y + = 解： [ln ln( 1) ln( 1) ln(sin )] 3 1 ln 3 y = x + x x + x ，…………………………1 分 两边对 x 求导得： ) sin cos 1 3 1 1 1 ( 3 1 ' 1 3 2 x x x x x x y y + = + ，…………………………3 分 所以： ) sin cos 1 3 1 1 1 ( ( 1)sin ( 1) 3 1 ' 3 2 3 3 x x x x x x x x x x y + + + = …………………………5 分 3． + = 1 y x x y 解：原等式化为： 1 ln ln + = y x x y e e ，两边对 x 求导得：……………………1 分 ( 'ln ) (ln ') 0 ln ln + + + y = y x e y x y e y x y x x y ，即 ( 'ln + ) + (ln y') =+ 0 y x y y x y x y x y x …3 分
解之得:y In 5分 ∫x=a(-sin ly=a(l-cost a为常数。 解: dy asin 5分 a(1-cost) 1-cost 四、证明:如果limf(x)=1>0,则必存在δ>0,使当0<x-a<6时,恒有 f(x)>0。(8分) 证明:因为imf(x)=1>0,所以依定义对。V70,36>0使当0<x-<6时 恒有(x)-4<E …………………6分 即-<f(x)-1<,从而0<<f(x) 3/ 8分 五、证明:sup{an+bn}≤sup{an}+sup{bn}。(6分) 证明:依定义an≤sup{an},bn≤sup{bn},… ……2分 从而:an+bn≤sup{an}+sup{bn},即:sup{an}+sup{bn}是an+bn的上界,…4分 上确界小于上界,所以有:sup{an+bn}≤sup{an}+sup{bn}… 6分 六、证明:f(x)=x+cosx在R上一致连续。(6分) 证明:因为(x)-f(x)=x-x2+cosx-cosx|sx-x1+kosx-cosx1,…2分 而cosx-cosx 2sin+xx-x∠1sD-x x-x,所以上式 ≤2x-x|, 分 故知对VE>0,取6=,则当x-x<6时,恒有(x)-f(x2)<s,依定义知f(x) 在R上一致连续。…………… …6分 七、用单调有界原理证明:如果区间列[an,bn]满足: (1)[a1,b]{a2,b2]2…2[an,b]彐[an1,bn]…; (2)lim(bn-an)=0。 第3页共4页
第 3 页 共 4 页 解之得： x x y x x y y y y y x y x 1 1 ln ln ' + + = ……………………………………………………5 分 4． = = (1 cos ) ( sin ) y a t x a t t a 为常数。 解： t t a t a t dx dy 1 cos sin (1 cos ) sin = = ……………………………………………………5 分 四、证明：如果 lim ( ) >= 0 f x l x a ，则必存在 > 0 ，使当 0 < ax < 时，恒有 f (x) > 0。（8 分） 证明：因为lim ( ) >= 0 f x l x a ，所以依定义对 0 2 0 = > l ， > 0 使当0 < ax < 时 恒有 2 ( ) 0 l f x l =< ，…………………………………………………………6 分 即 2 ( ) 2 l f x l l < < ，从而 2 3 ( ) 2 0 l f x l < < < 。………………………………8 分 五、证明：sup{ } sup{ } sup{ } an + bn an + bn 。 （6 分） 证明：依定义 sup{ } an an ， sup{ } bn bn ，……………………………………2 分 从而： sup{ } sup{ } an + bn an + bn ，即：sup{ } sup{ } an + bn 是an + bn的上界，…4 分 上确界小于上界，所以有：sup{ } sup{ } sup{ } an + bn an + bn ……………………6 分 六、证明： f (x) = x + cos x 在 R 上一致连续。 （6 分） 证明：因为 f (x') f (x'') = x'x''+ cos x'cos x'' x'x'' + cos 'cos xx '' ，……2 分 而 ' ' ' 2 ' '' 2sin 2 ' '' sin 2 ' ' cos ' cos ' ' 2sin xx x x x x x x x x + = ， 所 以 上 式 2 'xx '' ，…………………………………………………………………………4 分 故知对 > 0，取 2 = ，则当 x'x '' < 时，恒有 f (x') (xf ' )' < ，依定义知 f (x) 在 R 上一致连续。………………………………………………………………6 分 七、用单调有界原理证明：如果区间列[ , ] an bn 满足： （1）[a1 ,b1 ] [a2 ,b2 ] [an ,bn ] [an+1 ,bn+1 ]； （2）lim( ) = 0 n n n b a 。
则存在唯一的实数l属于所有的闭区间,即l∈∩[ak,b (10分) 证明:依条件,对任意n有a1<a2<…<an1<an<bn<bn<…<b2<b,即数列 {an}单调上升,上方有界, 分 依单调有界原理知 lim a存在,设 lim a=l,于是 lim b=lim(bn-an+an)=0+=l也存在。…………… ………4分 下面证明l∈∩Ia4,b]。对vk∈N+,依条件,当n>k时有{ak,b]{an,bn],从而 aA≤an<b≤b,令n→∞得a≤l≤b。由k的任意性,知l∈∩[a,b]。…7分 最后证明1是唯一的,如果还有一个也属于所有闭区间,则有-sbn-a1,令 n→得:-≤0,所以必有l=F。… …10分 第4页共4页
第 4 页 共 4 页 则存在唯一的实数l 属于所有的闭区间，即 [ , ] 1 k k k l a b = 。 （10 分） 证明：依条件，对任意n 有a1 < a2 < < an1 < an < bn < bn1 < < b2 < b1 ，即数列 { } an 单调上升，上方有界，………………………………………………………2 分 依 单 调 有 界 原 理 知 n n a lim 存 在 ， 设 a l n n = lim ， 于 是 b b a a l l n n n n n n = + = + = lim lim( ) 0 也存在。……………………………………4 分 下面证明 [ , ] 1 k k k l a b = 。对 + k N ，依条件，当n > k 时有[ , ] [ , ] ak bk an bn ，从而 ak an < bn bk ，令n 得 k bk a l 。由k 的任意性，知 [ , ] 1 k k k l a b = 。…7 分 最后证明l 是唯一的，如果还有一个l'也属于所有闭区间，则有 bn an l l' ，令 n 得： l l' 0，所以必有l = l'。…………………………………………10 分