工程科学学报，第40卷，第4期：500-507,2018年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.4:500-507,April 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.04.014:http://journals.ustb.edu.cn 混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 李腾挥四，谢寿生，彭靖波，贾伟洲，何大伟 空军工程大学航空航天工程学院，西安710038 ☒通信作者，E-mail:861857472@qq.com 摘要针对鲁棒保性能控制中的权值矩阵依赖经验选取，无法最大限度的减小系统保守性的问题，提出了一种基于混沌人 工鱼群算法的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法.该方法中，将保性能控制鲁棒界作为优化的目标函数来寻找最优权值矩阵 是整个算法实现的关键.该种改进的人工鱼群优化算法融合了混沌搜索与自适应步长和视野的人工鱼群优化算法，有效的解 决了基本人工鱼群算法的后期收敛速度慢、易陷入局部最优等缺点.通过测试函数对比验证了该种改进人工鱼群优化算法的 优越性，并通过应用实例验证了该权值矩阵优化方法的有效性. 关键词鲁棒保性能控制：权值矩阵优化：人工鱼群算法：混沌人工鱼群算法 分类号TP13 A weighting matrix optimization method for robust guaranteed cost control based on chaos artificial fish swarm algorithm LI Teng-hui,XIE Shou-sheng,PENG Jing-bo,JIA Wei-zhou,HE Da-wei Aeronautics and Astronautics Engineering Institute,Air Force Engineering University,Xi'an 710038,China Corresponding author,E-mail:861857472@qq.com ABSTRACT Herein,a robust guaranteed cost control weighting matrix optimization method based on chaos artificial fish swarm algo- rithm was proposed to overcome the dependence on the experience of selecting a weighting matrix in order to achieve robust guaranteed cost control and to overcome the inability of the current method to minimize the system conservative.The objective of this methodology is to estimate the optimal weighting matrix by considering the robust guaranteed cost control boundary as an objective function for opti- mization.The improved artificial fish swarm algorithm combines the chaos search and the artificial fish swarm algorithm with adaptive step and vision,which effectively resolves various drawbacks,including low convergence rate during the latter stage and easiness of be- ing trapped in a local optimal solution,of a basic artificial fish swarm algorithm.The superiority of the improved artificial fish swarm al- gorithm proposed herein was verified by the contrast results of the test function.Furthermore,the effectiveness of the weighting matrix optimization method was validated using some application examples. KEY WORDS robust guaranteed cost control:weighting matrix optimization:artificial fish swarm algorithm:chaos artificial fish swarm algorithm 不确定性系统的控制问题包括鲁棒稳定和鲁棒 连续时间不确定性系统保性能控制的方法，文献 性能两个方面.由于鲁棒保性能控制能够兼顾鲁棒 5]给出了离散系统的鲁棒保性能控制方法，文献 稳定性以及鲁棒性能，近年来己经引起学者的广泛 [6]则研究了输出反馈鲁棒保性能控制.但是现有 关注，并取得了许多研究成果.文献4]给出了 的结论都是在不确定范数有界的条件下得到的，因 收稿日期：2017-06-27 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51506221,51606219)
工程科学学报，第 40 卷，第 4 期: 500--507，2018 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 40，No． 4: 500--507，April 2018 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2018． 04． 014; http: / /journals． ustb． edu． cn 混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 李腾辉，谢寿生，彭靖波，贾伟洲，何大伟 空军工程大学航空航天工程学院，西安 710038 通信作者，E-mail: 861857472@ qq． com 摘 要 针对鲁棒保性能控制中的权值矩阵依赖经验选取，无法最大限度的减小系统保守性的问题，提出了一种基于混沌人 工鱼群算法的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法． 该方法中，将保性能控制鲁棒界作为优化的目标函数来寻找最优权值矩阵 是整个算法实现的关键． 该种改进的人工鱼群优化算法融合了混沌搜索与自适应步长和视野的人工鱼群优化算法，有效的解 决了基本人工鱼群算法的后期收敛速度慢、易陷入局部最优等缺点． 通过测试函数对比验证了该种改进人工鱼群优化算法的 优越性，并通过应用实例验证了该权值矩阵优化方法的有效性． 关键词 鲁棒保性能控制; 权值矩阵优化; 人工鱼群算法; 混沌人工鱼群算法 分类号 TP13 收稿日期: 2017--06--27 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51506221，51606219) A weighting matrix optimization method for robust guaranteed cost control based on chaos artificial fish swarm algorithm LI Teng-hui ，XIE Shou-sheng，PENG Jing-bo，JIA Wei-zhou，HE Da-wei Aeronautics and Astronautics Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China Corresponding author，E-mail: 861857472@ qq． com ABSTＲACT Herein，a robust guaranteed cost control weighting matrix optimization method based on chaos artificial fish swarm algorithm was proposed to overcome the dependence on the experience of selecting a weighting matrix in order to achieve robust guaranteed cost control and to overcome the inability of the current method to minimize the system conservative． The objective of this methodology is to estimate the optimal weighting matrix by considering the robust guaranteed cost control boundary as an objective function for optimization． The improved artificial fish swarm algorithm combines the chaos search and the artificial fish swarm algorithm with adaptive step and vision，which effectively resolves various drawbacks，including low convergence rate during the latter stage and easiness of being trapped in a local optimal solution，of a basic artificial fish swarm algorithm． The superiority of the improved artificial fish swarm algorithm proposed herein was verified by the contrast results of the test function． Furthermore，the effectiveness of the weighting matrix optimization method was validated using some application examples． KEY WOＲDS robust guaranteed cost control; weighting matrix optimization; artificial fish swarm algorithm; chaos artificial fish swarm algorithm 不确定性系统的控制问题包括鲁棒稳定和鲁棒 性能两个方面． 由于鲁棒保性能控制能够兼顾鲁棒 稳定性以及鲁棒性能，近年来已经引起学者的广泛 关注，并取得了许多研究成果［1--6］． 文献［4］给出了 连续时间不确定性系统保性能控制的方法，文献 ［5］给出了离散系统的鲁棒保性能控制方法，文献 ［6］则研究了输出反馈鲁棒保性能控制． 但是现有 的结论都是在不确定范数有界的条件下得到的，因
李腾辉等：混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 ·501· 此都具有一定保守性：鲁棒保性能控制都必须先确 如果存在一个状态反馈 定权值矩阵的值.权值矩阵的选取对系统的结果有 u(=-Kx(t) (4) 很大的影响，但是现有的方法大都通过经验来确定 使得对应的不确定性闭环系统 权值矩阵的值，没有一种固定选取准则.保性能控 E=[A。+△A)+(B。+△B)K]x(t) (5) 制鲁棒界是保性能意义下系统不确定性的最大允许 鲁棒稳定，则系统(1)是鲁棒可稳定的 范围可，是衡量鲁棒保性能控制保守性的关键指 定义2对线性不确定系统(1)和性能指标 标，因此提出了一种以保性能控制鲁棒界为目标函 (2),存在一个线性状态反馈器(3)和正数了，使得 数的权值矩阵优化算法，为权值矩阵的选取提供一 闭环系统(5)满足以下两个条件： 种方法 (1)闭环系统鲁棒稳定： 人工鱼群优化算法具有鲁棒性强、全局收敛性 (2)闭环系统相对应的性能指标(2)具有上界 好和对初始值敏感性小的的优点，但是也存在后期 丁，满足J≤J. 收敛速度慢和易陷入局部最优的不足-，结合混 则称闭环不确定系统(5)是鲁棒保性能的，式(4)为 沌搜索跳出局部极值能力强的特点，提出混 系统(1)的保性能控制，了为系统(1)的一个性能 沌一自适应人工鱼群优化权值矩阵的方法 上界 1 保性能控制鲁棒界 引理1)对不确定性线性系统(1)和性能指 标(2)，存在一个线性状态反馈器(3)，使得不确定 鲁棒保性能控制是指在保证不确定系统闭环稳 性闭环系统（⑤）鲁棒保性能控制的充分必要条件是 定的前提下，还能保证其性能指标不超过某一确定 存在常数E>0,使得Ricatti不等式： 的上界.但是往往很难平衡鲁棒稳定和鲁棒性能之 间的关系.在不确定范数有界的假设条件下得到的 ATP+PA+6PDDTP+LEE+0+KRK<0 结论往往过于保守.因此为得到不确定性与鲁棒保 (6) 性能控制之间的关系，文献7]给出了保性能控制 有正定解P>0,其中A=A。-BK,E=E,-E2K 鲁棒界的概念，即保性能意义下系统不确定性的最 鲁棒保性能闭环控制系统的性能指标J≤r(P). 大允许范围. 引理2m Schur补：对给定的对称矩阵S= 1.1系统描述及预备知识 511 S121 考虑如下不确定线性系统 ST= ,其中S:∈R".以下三个条件是 x=(A。+△A)x(t)+(B。+△B)u(t),x(O)=xo 等价的： (1) (1)S<0;(2),<0,S2-S2SS2<0:(3) 式中，x(t)∈R”为系统的状态，u(t)∈Rm为系统的 S2<0,S1-S12SzS<0. 控制输入，A。和B。为已知常阵，△A和△B为具有 1.2主要结果及证明 适当维数的不确定性时变实矩阵.考虑如下形式的 定理1对线性不确定系统(1)和性能指标 性能指标 (2),若存在线性状态反馈控制器(4)，使得不确定 J=E()x()+(Ru()d} 闭环系统（⑤）鲁棒保性能的充分必要条件是存在适 (2) 当的正定对称矩阵X>0,矩阵Y,以及常数ε>0，使 式中，Q与R即为待优化的权值矩阵，且Q>0,R> 得下面线性矩阵不等式成立 0. D XET-YET X 定义1对不确定性系统(1)，其自治系统为 0 0 0 (u(t)=0) -81 0 0 <0 x=(A+△A)x(t) (3) -Q1 0 如果能够构造一个该自治系统的状态变量 -R-1 x(t)的函数V(x(t))=xr(t)Px(t),其中P=pr> (7) 0,且对于任意允许的系统不确定性△4，以及所有的非 式中，Ⅱ=AX+XA。-B。Y-YB,I表示相应维数 零的状态变量满足以下两个条件：(1)V(x(t))>0: 的单位矩阵，*代表矩阵中相对应项的转置.则鲁 (2)V(x(t))>0,则称系统(1)是鲁棒稳定的. 棒保性能控制系统的性能指标J≤r(P).状态反馈
李腾辉等: 混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 此都具有一定保守性; 鲁棒保性能控制都必须先确 定权值矩阵的值． 权值矩阵的选取对系统的结果有 很大的影响，但是现有的方法大都通过经验来确定 权值矩阵的值，没有一种固定选取准则． 保性能控 制鲁棒界是保性能意义下系统不确定性的最大允许 范围［7］，是衡量鲁棒保性能控制保守性的关键指 标，因此提出了一种以保性能控制鲁棒界为目标函 数的权值矩阵优化算法，为权值矩阵的选取提供一 种方法． 人工鱼群优化算法具有鲁棒性强、全局收敛性 好和对初始值敏感性小的的优点，但是也存在后期 收敛速度慢和易陷入局部最优的不足［8--12］，结合混 沌搜索跳出局部极值能力强的特点［13--15］，提出混 沌--自适应人工鱼群优化权值矩阵的方法． 1 保性能控制鲁棒界 鲁棒保性能控制是指在保证不确定系统闭环稳 定的前提下，还能保证其性能指标不超过某一确定 的上界． 但是往往很难平衡鲁棒稳定和鲁棒性能之 间的关系． 在不确定范数有界的假设条件下得到的 结论往往过于保守． 因此为得到不确定性与鲁棒保 性能控制之间的关系，文献［7］给出了保性能控制 鲁棒界的概念，即保性能意义下系统不确定性的最 大允许范围． 1. 1 系统描述及预备知识 考虑如下不确定线性系统 x · = ( A0 + ΔA) x( t) + ( B0 + ΔB) u( t) ，x( 0) = x0 ( 1) 式中，x( t) ∈Ｒn 为系统的状态，u( t) ∈Ｒm 为系统的 控制输入，A0 和 B0 为已知常阵，ΔA 和 ΔB 为具有 适当维数的不确定性时变实矩阵． 考虑如下形式的 性能指标 J = E { ∫ ∞ 0 ( xT ( t) Qx( t) + uT ( t) Ｒu( t) ) dt } ( 2) 式中，Q 与 Ｒ 即为待优化的权值矩阵，且 Q ＞ 0，Ｒ ＞ 0． 定义 1 对不确定性系统( 1) ，其自治系统为 ( u( t) ≡0) x · = ( A0 + ΔA) x( t) ( 3) 如果能够构造一个该自治系统的状态变量 x( t) 的函数 V( x( t) ) = xT ( t) Px( t) ，其中 P = PT ＞ 0，且对于任意允许的系统不确定性 ΔA，以及所有的非 零的状态变量满足以下两个条件: ( 1) V( x( t) ) ＞ 0; ( 2) V · ( x( t) ) ＞ 0，则称系统( 1) 是鲁棒稳定的． 如果存在一个状态反馈 u( t) = － Kx( t) ( 4) 使得对应的不确定性闭环系统 x · = ［( A0 + ΔA) + ( B0 + ΔB) K］x( t) ( 5) 鲁棒稳定，则系统( 1) 是鲁棒可稳定的． 定义 2 对线性不确定系统( 1) 和性能指标 ( 2) ，存在一个线性状态反馈器( 3) 和正数 J* ，使得 闭环系统( 5) 满足以下两个条件: ( 1) 闭环系统鲁棒稳定; ( 2) 闭环系统相对应的性能指标( 2) 具有上界 J* ，满足 J≤J* ． 则称闭环不确定系统( 5) 是鲁棒保性能的，式( 4) 为 系统( 1) 的保性能控制，J* 为系统( 1) 的一个性能 上界． 引理 1 ［7］ 对不确定性线性系统( 1) 和性能指 标( 2) ，存在一个线性状态反馈器( 3) ，使得不确定 性闭环系统( 5) 鲁棒保性能控制的充分必要条件是 存在常数 ε ＞ 0，使得 Ｒicatti 不等式: AT P + PA + εPDDT P + 1 ε ET E + Q + KT ＲK ＜ 0 ( 6) 有正定解 P ＞ 0，其中 A = A0 － B0K，E = E1 － E2K． 鲁棒保性能闭环控制系统的性能指标 J≤tr( P) ． 引理 2 ［7］ Schur 补: 对给定的对称矩阵 S = ST = S11 S12 * S [ ] 22 ，其中 S11 ∈Ｒr × r ． 以下三个条件是 等价的: ( 1) S ＜ 0; ( 2) S11 ＜ 0，S22 － ST 12 S － 1 11 S12 ＜ 0; ( 3) S22 ＜ 0，S11 － S12S － 1 22 ST 12 ＜ 0． 1. 2 主要结果及证明 定理 1 对线性不确定系统( 1) 和性能指标 ( 2) ，若存在线性状态反馈控制器( 4) ，使得不确定 闭环系统( 5) 鲁棒保性能的充分必要条件是存在适 当的正定对称矩阵 X ＞ 0，矩阵 Y，以及常数 ε ＞ 0，使 得下面线性矩阵不等式成立 Π D XET 1 － YT ET 2 X YT * － ε － 1 I 0 0 0 ＊ ＊ － εI 0 0 ＊ ＊ ＊ － Q － 1 0 ＊ ＊ ＊ ＊ － Ｒ － 1 ＜ 0 ( 7) 式中，Π = A0X + XAT 0 － B0Y － YT BT 0，I 表示相应维数 的单位矩阵，* 代表矩阵中相对应项的转置． 则鲁 棒保性能控制系统的性能指标 J≤tr( P) ． 状态反馈 · 105 ·
·502· 工程科学学报，第40卷，第4期 控制律为 故 u(t）=-YX-x(t）=Kr(t) (8) (△A-△BK)TP+P(△A-△BK)< 证明：由引理1可知闭环系统(5)鲁棒保性能 L(A4-△BK)T(△A-△BK)+sP (16) 的充分必要条件是式(6)成立，在式(6)的左右分别 乘以P-1得到 又因为 P-1(A。-BK)T+(A。-BK)P-1+eDDF+ △AT△A+(△BK)T(△BK)< IP-1(E -E2K)T(E-EK)+ -(AP+PA+Q+KRK+P)(17) P-OP+P-KRKP-<0 (9) 根据Hermite矩阵性质，式(17)成立当且仅当 再令P-1=X,KP-1=Y,应用引理Schur补即可得 A(M)=A(△AT△A+(△BK)T(ABK)+ 到上面的线性矩阵不等式(linear matrix inequality, (AP+PA+Q+KRK+P))<0(18) LMI). 又由于 为证明J≤r(P),取Lyapunov函数V(x(t))= A(M)）≤入（△AT△A)+Am【(△BK)T(△B]+ x'(t)Px(t),对不确定闭环系统可得 V=iPx +xPi =xAPx +PAx A（号(A'P+PA+0+KRK+sP)）≤ xT [(AP+PA)]x (10) o(△A)+o（△BK)- 由引理1可知7<-x(PDD'P+EE+Q+ （-号(A'P+PA+Q+K'RK+eP) (19) KRKx.故 再由式(17)可得 t=v(a)-v≤-r'(PDD'P+ -(ATP+PA+Q+KRK+P)>0(20) 1EE+Q+KRK)x()dt (11) 所以 再由定义(1)可知V(∞)=0.因此 Anm（-(A'P+PA+0+K'RK+eP)）= JE(V(xo))=E(xoPxo)=tr(P) (12) 证闭. O=（-号(A'P+PA+0+KRK+sP)） 定理2对于不确定性系统(1)和性能指标 (21) (2),若存在线性反馈(4)，使得任意非结构不确定 性△A和△B均有 假设不确定矩阵为△4= ∑kwA,AB=∑kB, 因此，由式(17)到(21)即可证明该定理. 三城o2(aM)+ ko2（AB)< 由此可知，要使得鲁棒保性能控制获得最大的 (-号(A'P+PA+0+K'RK+eP)） 鲁棒界，即等价于要使得 (13) o=（-号(A'P+PA+0+KRK+sP)） 则不确定闭环系统(5)是鲁棒保性能的，式(13)为 (22) 保性能控制鲁棒界.其中，￡>0为待定常数，A= 获得最大值. A。-B,K,(X)和o(X)分别为矩阵X的最大 2 改进人工鱼群优化鲁棒保性能权值矩阵 和最小奇异值，P>0为保性能矩阵 的提出 证明由定义2可得 (△A-△BK)T+(△4-△BK)< 2.1改进人工鱼群算法 -(AP+PA+0+KRK) (14) 2.1.1自适应视野与步长的人工鱼群算法 因为对任意实矩阵X和Y以及任意常数ε>0，有不 人工鱼群算法是一种通过构造人工鱼，模仿鱼 等式 群生存方式中的觅食、聚群、追尾等主要行为，从而 x'y+Yr'x≤Lx'x+eYrY 解决实际优化问题的一种算法.其思路是针对每个 (15) 人工鱼个体实现局部寻优，然后不断迭代更新，最终
工程科学学报，第 40 卷，第 4 期 控制律为 u( t) = － YX － 1 x( t) = Kx( t) ( 8) 证明: 由引理 1 可知闭环系统( 5) 鲁棒保性能 的充分必要条件是式( 6) 成立，在式( 6) 的左右分别 乘以 P － 1得到 P － 1 ( A0 － B0K) T + ( A0 － B0K) P － 1 + εDDT + 1 ε P － 1 ( E1 － E2K) T ( E1 － E2K) + P － 1QP + P － 1KT ＲKP － 1 ＜ 0 ( 9) 再令 P － 1 = X，KP － 1 = Y，应用引理 Schur 补即可得 到上面的线性矩阵不等式( linear matrix inequality， LMI) ． 为证明 J≤tr( P) ，取 Lyapunov 函数 V( x( t) ) = xT ( t) Px( t) ，对不确定闭环系统可得 V · = x ·T Px + xT Px· = xT APx + ξT PAx = xT ［( AP + PA) ］x ( 10) 由引理 1 可知V · ＜ － x ( T εPDDT P + 1 ε ET E + Q + KT ＲK x) ． 故 ∫ ∞ 0 V · dt = V( ∞ ) － V( x0 ) ≤ ∫ ∞ 0 － xT ( t) ( εPDDT P + 1 ε ET E + Q + KT ＲK) x( t) dt ( 11) 再由定义( 1) 可知 V( ∞ ) = 0． 因此 J≤E( V( x0 ) ) = E( xT 0Px0 ) = tr( P) ( 12) 证闭． 定理 2 对于不确定性系统( 1) 和性能指标 ( 2) ，若存在线性反馈( 4) ，使得任意非结构不确定 性 ΔA 和 ΔB 均有 ∑ lA i = 1 k 2 Aiσ2 max ( ΔA) + ∑ lB i = 1 k 2 Biσ2 max ( ΔB) ＜ σmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 13) 则不确定闭环系统( 5) 是鲁棒保性能的，式( 13) 为 保性能控制鲁棒界． 其中，ε ＞ 0 为待定常数，A = A0 － B0K，σmax ( X) 和 σmin ( X) 分别为矩阵 X 的最大 和最小奇异值，P ＞ 0 为保性能矩阵． 证明 由定义 2 可得 ( ΔA － ΔBK) T + ( ΔA － ΔBK) ＜ － ( AT P + PA + Q + KT ＲK) ( 14) 因为对任意实矩阵 X 和 Y 以及任意常数 ε ＞ 0，有不 等式 XT Y + YT X≤ 1 ε XT X + εYT Y ( 15) 故 ( ΔA － ΔBK) T P + P( ΔA － ΔBK) ＜ 1 ε ( ΔA － ΔBK) T ( ΔA － ΔBK) + εP2 ( 16) 又因为 ΔAT ΔA + ( ΔBK) T ( ΔBK) ＜ － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ( 17) 根据 Hermite 矩阵性质，式( 17) 成立当且仅当 λ( M) = λ( ΔAT ΔA + ( ΔBK) T ( ΔBK) + ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ＜ 0 ( 18) 又由于 λ( M) ≤λmax ( ΔAT ΔA) + λmax［( Δ BK) T ( ΔBK) ］+ λmax ( ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ≤ σ2 max ( ΔA) + σ2 max ( ΔBK) － λmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 19) 再由式( 17) 可得 － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ＞ 0 ( 20) 所以 λmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) = σmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 21) 假设不确定矩阵为 ΔA = ∑ lA i = 1 kAiAi，ΔB = ∑ lB i = 1 kBiBi， 因此，由式( 17) 到( 21) 即可证明该定理． 由此可知，要使得鲁棒保性能控制获得最大的 鲁棒界，即等价于要使得 σmin ( － ε 2 ( AT P + PA + Q + KT ＲK + εP2 ) ) ( 22) 获得最大值． 2 改进人工鱼群优化鲁棒保性能权值矩阵 的提出 2. 1 改进人工鱼群算法 2. 1. 1 自适应视野与步长的人工鱼群算法 人工鱼群算法是一种通过构造人工鱼，模仿鱼 群生存方式中的觅食、聚群、追尾等主要行为，从而 解决实际优化问题的一种算法． 其思路是针对每个 人工鱼个体实现局部寻优，然后不断迭代更新，最终 · 205 ·
李腾辉等：混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 ·503· 实现全局寻优.但是，基本人工鱼群算法存在收敛 的遍历所有的状态 速度慢、易陷入局部最优等不足，部分原因是因为固 设有一个n维优化问题，x,是其第j维决策变 定的步长与视野.因此提出一种自适应步长与视野 量且x)<x<x,混沌搜索具体算法如下： 的人工鱼群算法.在算法初期给定较大的步长与视 (1)k=0,用下式将第j维决策变量x困映射为 野，人工鱼移动范围大，收敛速度快：而到后期，人工 混沌变量cx, 鱼群聚集在极值点附近，选择较小的步长与视野有 利于避免在极值点处来回震荡。 Cx)= ()-min: (26) 自适应步长策略：初始人工鱼当前状态为X,= max.jmin.j (2)在cx的基础上利用Logistic混沌映射产 (x1,x21,…,x1),任意状态为X=（xk,x2,…, xt),关系如下： 生下一代混沌变量cx+D.其中Logistic混沌映射 2=X Visual.Rand ( (23) 迭代方程如下： (27) =离1 X+1-Xk Z(k+1)=Z(份·0-Z(k)] .Step 其中，Z()=cx,u是控制参数，当μ=4时，且 (24) Z(k)(0,0.25,0.5,0.75,1),其他点均是通过式 其中，Rand()函数产生0到1之间的随机数，Step (27)产生的，且均位于0到1之间，系统完全为混 为移动步长，Y。为X状态的目标函数值 沌状态 自适应视野策略：引入衰减因子α和B,算法 由于u∈(0,4]，图1给出了当初始值x。=0.8, 如下： 数据长度为100时，控制参数4分别取1、3.56、 Visual+1=aVisuale,(Yk+1-Y)/八Yl>δ 3.75、4时相对应的logistic映射功率谱图.从图中 Visual=B.Visual,(Y-Y)/IY< 可以看出，当功率谱为单峰或者多峰时，logistic对应 (25) 于周期态或者拟周期态，当μ>3.56时，功率谱连成 其中0<a<1,0<B<1,且a>B,8为判断阈值.当 一片，无明显的峰，此时，logistic映射处于弱混沌状 目标函数值的相对变化量大于这个阈值时，选择较 态，而且随着控制参数以增大，功率谱图更密集，其 大的衰减因子α；若小于阈值，则选择B 对应logistic映射处于强混沌状态.此外，图2所示 2.1.2混沌搜索 的初始值x。=0.8,数据长度为100时，控制参数u 容易陷入局部最优是人工鱼群一大突出的缺 分别取1、3.56、3.75和4时相对应的logistic映射 点，为解决这个问题，提出结合混沌搜索的改进人工 自相关函数图显示4=4时的相关系数较小，说明该 鱼群算法.混沌现象具有随机性、确定性、遍历性等 种logistic映射的混沌状态较强.虽然u=1时相关 特点，能够在一定范围内按照其自生规律不断重复 系数接近于0，但是该种情况下的logistic映射会收 0.12 1.0f 0.10 =3.56 0.8 0.08 0.4 0.04 0.2 0.02 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 03 0.4 0.5 频率Hz 频率川z 1.0 1.0 0.8 -4=3.75 0.8 0.6 0.6 04 02 0.2 0 ww. 0.2 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 频率Hz 频率/Hx 图1 logistic映射功率谱图 Fig.1 Logistic mapping of power
李腾辉等: 混沌人工鱼群的鲁棒保性能控制权值矩阵优化方法 实现全局寻优． 但是，基本人工鱼群算法存在收敛 速度慢、易陷入局部最优等不足，部分原因是因为固 定的步长与视野． 因此提出一种自适应步长与视野 的人工鱼群算法． 在算法初期给定较大的步长与视 野，人工鱼移动范围大，收敛速度快; 而到后期，人工 鱼群聚集在极值点附近，选择较小的步长与视野有 利于避免在极值点处来回震荡． 自适应步长策略: 初始人工鱼当前状态为 X1 = ( x11，x21，…，xn1 ) ，任意 状 态 为 Xk = ( x1k，x2k，…， xnk ) ，关系如下: X2 = X1 + Visual·Ｒand( ) ( 23) Xk + 2 = Xk + Xk + 1 － Xk ‖Xk + 1 － Xk‖· 1 － Yk Yk + 1 ·Step ( 24) 其中，Ｒand( ) 函数产生 0 到 1 之间的随机数，Step 为移动步长，Yk 为 Xk 状态的目标函数值． 自适应视野策略: 引入衰减因子 α 和 β，算法 如下: Visualk + 1 = α·Visualk，( Yk + 1 － Yk ) / | Yk | ＞ δ Visualk + 1 = β·Visualk，( Yk + 1 － Yk ) / | Yk { | ＜ δ ( 25) 其中 0 ＜ α ＜ 1，0 ＜ β ＜ 1，且 α ＞ β，δ 为判断阈值． 当 目标函数值的相对变化量大于这个阈值时，选择较 大的衰减因子 α; 若小于阈值，则选择 β． 图 1 logistic 映射功率谱图 Fig． 1 Logistic mapping of power 2. 1. 2 混沌搜索 容易陷入局部最优是人工鱼群一大突出的缺 点，为解决这个问题，提出结合混沌搜索的改进人工 鱼群算法． 混沌现象具有随机性、确定性、遍历性等 特点，能够在一定范围内按照其自生规律不断重复 的遍历所有的状态． 设有一个 n 维优化问题，xj 是其第 j 维决策变 量且 xmin，j ＜ xj ＜ xmax，j ，混沌搜索具体算法如下: ( 1) k = 0，用下式将第 j 维决策变量 x( k) j 映射为 混沌变量 cx( k) j ， cx( k) j = x( k) j － xmin，j xmax，j － xmin，j ( 26) ( 2) 在 cx( k) j 的基础上利用 Logistic 混沌映射产 生下一代混沌变量 cx( k + 1) j ． 其中 Logistic 混沌映射 迭代方程如下: Z( k + 1) = μZ( k)·［1 － Z( k) ］ ( 27) 其中，Z( k) = cx( k) j ，μ 是控制参数，当 μ = 4 时，且 Z( k) ( 0，0. 25，0. 5，0. 75，1) ，其他点均是通过式 ( 27) 产生的，且均位于 0 到 1 之间，系统完全为混 沌状态． 由于 μ∈( 0，4］，图 1 给出了当初始值 x0 = 0. 8， 数据长度为 100 时，控制参数 μ 分别取 1、3. 56、 3. 75、4 时相对应的 logistic 映射功率谱图． 从图中 可以看出，当功率谱为单峰或者多峰时，logistic 对应 于周期态或者拟周期态，当 μ ＞ 3. 56 时，功率谱连成 一片，无明显的峰，此时，logistic 映射处于弱混沌状 态，而且随着控制参数 μ 增大，功率谱图更密集，其 对应 logistic 映射处于强混沌状态． 此外，图 2 所示 的初始值 x0 = 0. 8，数据长度为 100 时，控制参数 μ 分别取 1、3. 56、3. 75 和 4 时相对应的 logistic 映射 自相关函数图显示 μ = 4 时的相关系数较小，说明该 种 logistic 映射的混沌状态较强． 虽然 μ = 1 时相关 系数接近于 0，但是该种情况下的 logistic 映射会收 · 305 ·
·504· 工程科学学报，第40卷，第4期 M=1 =3.56 =3.75 =4 0.5 0.3 100 80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 自变量值 图2 logistic映射自相关函数图 Fig.2 Illustration of the autocorrelation function of the logistic map 敛于两个稳定点x=0或者x=1-上，故不满足混 敛于某一固定数值，从而导致失去混沌搜索的遍历 性，会导致混沌映射均匀性变差，将直接影响整个迭 沌搜索的遍历性要求.综上所述，当4=4时，系统 代搜索的收敛速度以及精确度，降低整个算法的求 处于完全混沌状态 解效率.为验证系统对初始值的敏感性以及鲁棒 对于Z(k)(0,0.25,0.5,0.75,1),是因为对 性，如图3所示为4=4，初始混沌变量分别为 于式(27)的logistic映射空间[0,1]内，具有0、 0.24999、0.25、0.5、0.50001、0.00001和0.99999时 0.25、0.5、0.75和1这5个不动点，当Z(k)等于这 所对应的logistic映射时间序列分布图.从图中可以 5个不动点时，式(27)所产生的新的混沌变量将收 。初始值-0.24999 1.0r wggg56Sgg 1.2 1.o o初始值=0.25或0.75 988.6品8o8950 066”99.888 0.8 00 989aooe8g°oooo9 0.2 60 0.6 50 mB082.0 100150 250 300 50 100150200250300 迭代次数 迭代次数 o初始值=0.50001 0.8 1.0p 0.6 o初始值=0.5 0.8 898gn3 0.4 0.6 00 0.2 0.4 0 0.2 0 50 100150200 250 300 50100150200250300 迭代次数 送代次数 o初始值-0.00001 0初始值=0.99999 0.8 0.8 0 0.6 %0 0.6 %0o 0 00 6A686晚o0g°6。o0 0.4 0.2 6Ax日86品932a。 0.2oo° 2A8Be98° 000d 00 50 100150200250 300 50100150200250 300 迭代次数 迭代次数 图3 logistic映射时间序列分布图 Fig.3 Time-sequence distribution chart of the logistic map
工程科学学报，第 40 卷，第 4 期 图 2 logistic 映射自相关函数图 Fig． 2 Illustration of the autocorrelation function of the logistic map 敛于两个稳定点 x = 0 或者 x = 1 － 1 μ ，故不满足混 沌搜索的遍历性要求． 综上所述，当 μ = 4 时，系统 处于完全混沌状态． 图 3 logistic 映射时间序列分布图 Fig． 3 Time-sequence distribution chart of the logistic map 对于 Z( k) ( 0，0. 25，0. 5，0. 75，1) ，是因为对 于式( 27 ) 的 logistic 映 射 空 间［0，1］内，具 有 0、 0. 25、0. 5、0. 75 和1 这5 个不动点，，当 Z( k) 等于这 5 个不动点时，式( 27) 所产生的新的混沌变量将收 敛于某一固定数值，从而导致失去混沌搜索的遍历 性，会导致混沌映射均匀性变差，将直接影响整个迭 代搜索的收敛速度以及精确度，降低整个算法的求 解效率． 为验证系统对初始值的敏感性以及鲁棒 性，如 图 3 所 示 为 μ = 4，初始混沌变量分别为 0. 24999、0. 25、0. 5、0. 50001、0. 00001 和 0. 99999 时 所对应的 logistic 映射时间序列分布图． 从图中可以 · 405 ·