2.2卷积积分信号与系统电子教紫三.卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。性质1.卷积代数满足乘法的三律：1. 交换律： fi(t)* fz(t) =fz(t)* fi(t)2. 分配律: fi(t)*[ f2(t)+ fs(t) =fi(t)* fz(t)+ fi(t)* fs(t3. 结合律: [fi(t)* f2(t)]* fs(t)] =fi(t)*[ fz(t) * fs(t)]第2-6页
信号与系统 第2-6页 ■ 电子教案 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下 面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 性质1.卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1 (t)* f2 (t) =f2 (t)* f1 (t) 2. 分配律： f1 (t)*[ f2 (t)+ f3 (t)] =f1 (t)* f2 (t)+ f1 (t)* f3 (t) 3. 结合律： [f1 (t)* f2 (t)]* f3 (t)] =f1 (t)*[ f2 (t) * f3 (t)] 三. 卷积积分的性质 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫性质2.奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=o(t)*f(t) = f(t)证: S(t)* f(t)= /S(t)f(t-t)dt = f(t)f(t)*o(t -to) = f(t - to)2. f(t)*s'(t) = f'(t)证: 8 '(t)* f(t)=(s '(t)f(t-t)dt= f'(t)f(t)*s(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)= (f(t)e(t-t)dt = ( f(t)dtc(t) *(t) = te(t)第2-7页
信号与系统 第2-7页 ■ 电子教案 性质2.奇异函数的卷积特性 1. f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) 证： (t)* f (t) = ( ) f (t − )d = f (t) − f(t)*δ(t –t0 ) = f(t – t0 ) 2. f(t)*δ’(t) = f’(t) 证： '(t)* f (t) = '( ) f (t − )d = f '(t) − f(t)*δ (n)(t) = f (n)(t) 3. f(t)*ε(t) − − = − = t f ( )(t )d f ( )d ε(t) *ε(t) = tε(t) 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫性质3.卷积的微积分性质d" fi(t)d" fz(t)[f(t)* f2(t)]f2(t) = f(t)*dthdtn证: 上式=8(n)(t) *[fi(t)* f2(t)]= [s(n)(t) *fi(t)] * f2(t) = f;(n)(t) * f2(t)2. ['[f(t)* f;(t)]dt =[}" f(t)dt)* f,(t)= f(0)*[2(t)dt)证: 上式=ε(t) *[fi(t)* f2(t)]= [c(t) *fi(t) * f2(t) = fi(-1)(t) * f2(t)3. 在f(- 00)= 0或f(-1)(oo) = 0的前提下,fi(t)* f(t) = f '(t)* f,(-1)(t)第2-8页
信号与系统 第2-8页 ■ 电子教案 性质3.卷积的微积分性质 1. n n n n n n t f t f t f t t f t f t f t t d d ( ) * ( ) ( ) * d d ( ) ( ) * ( ) d d 2 2 1 1 1 2 = = 证：上式= δ (n)(t) *[f1 (t)* f2 (t)] = [δ (n)(t) *f1 (t)] * f2 (t) = f1 (n)(t) * f2 (t) 2. [ ( ) * ( )]d [ ( )d ]* ( ) ( ) *[ ( )d ] 1 2 1 2 1 2 − − − = = t t t f f f f t f t f 证：上式= ε(t) *[f1 (t)* f2 (t)] = [ε(t) *f1 (t)] * f2 (t) = f1 (–1)(t) * f2 (t) 3. 在f1 (– ∞) = 0或f2 (–1)(∞) = 0的前提下， f1 (t)* f2 (t) = f1 ’(t)* f2 (–1)(t) 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫例1: fi(t) =1, f2(t) = e-tc(t), 求fi(t)* fz(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得f(t)* fi(t)= [~e- e(t)dt=]。e-'dt=-e-| =1注意： 套用 fi(t)* f2(t) = fi'(t)* fz(-1)(t)= 0* f,(-1)(t)= 0 显然是错误的。fi(t)例2: fi(t) 如图, f2(t) = e-tc(t), 求fi(t)* f2(t)解法一: fi(t)* fz(t) =fi '(t)* fz(-1)(t)02tfi'(t) =s(t) -8 (t -2)f(-(t)= ["e-' e(t)dt= ['edt e(t) = -e|6 ·8(t)=(1-e")e(t)fi(t)* f2(t)=(1- e-t)e(t) - [1- e-(t-2)]e(t-2)第2-9页
信号与系统 第2-9页 ■ 电子教案 例1： f1 (t) = 1， f2 (t) = e–tε(t)，求f1 (t)* f2 (t) 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2 (t)* f1 (t)= e ( )d e d e 0 1 0 = = − = − − − − 注意：套用 f1 (t)* f2 (t) = f1 ’(t)* f2 (–1)(t) = 0* f2 (–1)(t) = 0 显然是错误的。 例2：f1 (t) 如图, f2 (t) = e–tε(t)，求f1 (t)* f2 (t) ( ) e ( )d e d ( ) e ( ) (1 e ) ( ) 0 0 ( 1) 2 f t t t t t t t t − − − − − − = − = − = = f 1(t) 0 2 t 1 解法一： f1 (t)* f2 (t) = f1 ’(t)* f2 (–1)(t) f1 ’(t) =δ (t) –δ (t –2) f1 (t)* f2 (t)=(1- e –t )ε(t) – [1- e –(t-2)]ε(t-2) 2.2 卷积积分
2.2卷积积分信号与系统电子教紫性质4.卷积的时移特性若 f(t) = fi(t)* fz(t),则 fi(t-t)* f2(t -t2) = fi(t -ti -t2)* f2(t)= fi(t)* f2(t -ti-t2) = f(t -ti-t2)fi(t)前例： fi(t)如图,fz(t) =e-tc(t)， 求fi(t)* fz(t)解:fi(t) =ε(t) -ε(t-2)02fi(t)* fz(t)= ε(t) * fz(t) -ε(t -2) * fz(t)& (t) * fz(t)= f, (-1)(t)利用时移特性，有ε(t-2) * f2(t)= fz (-1)(t -2)fi(t)* f2(t)=(1- e-f)e(t) - [1- e-(t-2)]e(t-2)第2-10页
信号与系统 第2-10页 ■ 电子教案 解： f1 (t) =ε (t) –ε (t –2) f1 (t)* f2 (t)= ε (t) * f2 (t) –ε (t –2) * f2 (t) ε (t) * f2 (t)= f2 (-1)(t) 性质4.卷积的时移特性 若 f(t) = f1 (t)* f2 (t)， 则 f1 (t –t1 )* f2 (t –t2 ) = f1 (t –t1 –t2 )* f2 (t) = f1 (t)* f2 (t –t1 –t2 ) = f(t –t1 –t2 ) 前例：f1 (t) 如图, f2 (t) = e–tε(t)，求f1 (t)* f2 (t) f 1(t) 0 2 t 1 利用时移特性，有ε (t –2) * f2 (t)= f2 (-1)(t –2) f1 (t)* f2 (t)=(1- e –t )ε(t) – [1- e –(t-2)]ε(t-2) 2.2 卷积积分