自1at关系 由对称性与传递性可推出自反性。 理由:若(a,b)∈R,由对称性, 有(b,a)∈R,由传递性 有(a,a)∈R。 错误原因:不是∨a, 彐b,使(a,b)∈R。 如 R的相关矩阵是全0矩阵,是对称的, 传递的,但不是自反的。 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ 21
R e l a t i o n s 关 系 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ. 21 注： 由对称性与传递性可推出自反性。 理由： 若（ａ，ｂ）∈Ｒ，由对称性， 有（ｂ，ａ）∈Ｒ，由传递性 有（ａ，ａ）∈Ｒ。 如： R的相关矩阵是全0矩阵，是对称的， 传递的，但不是自反的。 错误原因：不是ａ， ｂ， 使（ａ，ｂ）∈Ｒ
自1at关系 例1:R1={(a,b)|a≤b,a,b∈N 自反的,a1=1; 不对称的,(1,2)∈R1而(2,1)≠R1 反对称的,传递的。 注:将<改为<,则无自反性,且是反自反的 例2:R2={(a,b)a|b,a,b∈N} 自反的,不对称的,反对称的,传递的。 例3:R3={(S1,S2)|S1cS2 S2∈P(S)}其中P(S)是S的幂集。 自反的,不对称的,反对称的,传递的。 注:若改为∈,则无自反性。 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ
R e l a t i o n s 关 系 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ. 22 例１：Ｒ1 ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ≤ｂ， ａ，ｂ∈Ｎ｝ 自反的，aii =1; 不对称的，(1,2) ∈ R1 ,而(2,1) R1 反对称的，传递的。 注：将≤改为＜，则无自反性，且是反自反的。 例２：Ｒ2 ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ｜ｂ，ａ，ｂ∈Ｎ｝ 自反的，不对称的，反对称的，传递的。 例３：Ｒ3 ＝｛（Ｓ1，Ｓ2）｜Ｓ1Ｓ2，Ｓ1， Ｓ2∈Ｐ（Ｓ）｝其中Ｐ（Ｓ）是Ｓ的幂集。 自反的，不对称的，反对称的，传递的。 注：若改为，则无自反性
自1at关系 例4: R4={(a,b)|a+b=偶数, a,b∈N} 自反的,对称的,传递的, 因:a+b=偶,b十c=偶, 则:0<a+c=(a+b)+(b+ c)-2b=偶数与偶数之差=偶数。 例5: Rs=t(a, b) gcd(a, b)=1 (互素),a,b∈N} 对称的,但不是自反的,也无传递性。 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ 23
R e l a t i o n s 关 系 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ. 23 例４： Ｒ4 ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ＋ｂ＝偶数， ａ，ｂ∈Ｎ｝ 自反的，对称的，传递的， 因：ａ＋ｂ＝偶，ｂ＋ｃ＝偶， 则：０＜ａ＋ｃ＝（ａ＋ｂ）＋（ｂ＋ ｃ）－２ｂ＝偶数与偶数之差＝偶数。 例５： Ｒ5 ＝｛（ａ，ｂ）｜gcd（ａ，ｂ）＝１ （互素），ａ，ｂ∈Ｎ｝ 对称的，但不是自反的，也无传递性
自1at关系 二元关系的运算 Combining relations 二元关系是集合,集合存在并,交,差, 非和对称差的运算 故二元关系也存在这样的运算 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ 24
R e l a t i o n s 关 系 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ. 24 二元关系的运算 Combining Relations 二元关系是集合，集合存在并，交，差， 非和对称差的运算。 故二元关系也存在这样的运算
自1at关系 设R1和R2是A到B的二元关系,则 (1)R1UR2={(a,b)|(a,b)∈R1 或(a,b) ∈R (2)R1∩R2={(a,b)|(a,b)∈R1 且(a,b)∈R2 (3)R1R2={(a,b)|(a,b)∈R1 但(a,b)gR2} (4)R1={(a,b)|(a,b)∈A米,但(a,b)gR1} (5)R1/R2={(a,b)|(a,b)∈R1UR2 但(a,b)≠R1∩R 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ
R e l a t i o n s 关 系 2021年2月24日 Deren Chen, Zhejiang Univ. 25 设Ｒ1和Ｒ2是Ａ到Ｂ的二元关系，则 （1）Ｒ1∪Ｒ2 ＝｛（ａ，ｂ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ1 或 （ａ，ｂ）∈Ｒ2｝ （2）Ｒ1∩Ｒ2 ＝｛（ａ，ｂ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ1 且 （ａ，ｂ）∈Ｒ2｝ （3）Ｒ1-Ｒ2 ＝｛（ａ，ｂ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ1 但 （ａ，ｂ） Ｒ2｝ （4）R1 ＝｛(a,b)｜(a,b) ∈A*B, 但（ａ，ｂ） Ｒ1｝ （5）Ｒ1Ｒ2 ＝｛（ａ，ｂ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ1∪Ｒ2 但 （ａ，ｂ）Ｒ1∩Ｒ2｝