(2)m阶行列式A的定义: 规定m阶行列式A为下式的值: a1M1-a2M1+…+(-1)a1M1+…+(-1)"anM1n 记为: 2 nI +…+(-1)a1M1+…+(-1)"a1 ∑ 也称之为行列式A (也将A记为D或D)1按第一行的展开式
(2) n阶行列式|A|的定义： 规定n阶行列式|A|为下式的值： 1 1 11 11 12 12 1 1 1 1 ( 1) ( 1) i n i i n n a M a M a M a M + + − + + − + + − 记为： 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 1 1 11 11 12 12 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) i n i i n n n j j j j a M a M a M a M a M + + + = = − + + − + + − = − （也将|A|记为D或Dn）。 也称之为行列式|A| 按第一行的展开式
例2计算下列行列式: 0 4 n2 解:按第一行展开有
例2.计算下列行列式： 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a A a a a = 解：按第一行展开有
22 0 22 0 n2 2 11022 1122 nn n2 nn 结论:下(上)三角行列式(或对角行列式)的值, 等于它的主对角线上的元素的乘积
11 22 21 22 32 33 11 1 2 2 3 33 43 44 11 22 11 22 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n nn n n nn nn n n nn a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a = = = = = 结论：下(上)三角行列式（或对角行列式）的值， 等于它的主对角线上的元素的乘积
二、行列式的性质 12 In 21 nI 2 D n O=/42 n 行列式D7称为行列式D的转置行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立
二、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a 22 11 n n a a a 2 12 1 1 2 21 n n a a a D = 2 21 1 n n a a a n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a 22 11 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立
性质2如果方阵A有某行(列)元素全为零,则A=0 性质3.互换行列式的两行(列),则行列式变号 记作:r4>r,(或c1<>C) 01-2=6 00-300-3 例如 75 75 715 662=-358,662=-662 358662358538
性质2.如果方阵A有某行(列)元素全为零, 则 A = 0. ( ) j j r c c i i 质 r 或 换 两 则 变号 记 性 3.互 行列式的 行(列), 行列式 . 作: 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 6 0 0 3 0 0 3 − = − − = − − 0 2 例: 2 r 1 例如 r , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8