例1设函数12na,x,0≤x<2n112αan -2na,x,f,(x)=3 ≤x<-,n =1,2,....2nn10,=≤x≤1,nJt(其图象如图13一6所示)Jnαn图13-6显然(f,(x)是[0,1] 上的连续函数列,且对任意x1.1x e[0, 1] , lim f,(x) = 0.1oT2nn前页后页返回
前页 后页 返回 1 2 , 0 , 2 1 1 ( ) 2 2 , , 1,2, . 2 1 0, 1, n n n n n x x n f x n x x n n n x n = − = (其图象如图13－6所示). { ( )} n 显然 f x 是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意 x [0, 1] → lim ( ) 0. n = n , f x 例1 设函数 图13 6 − y 1 n f 1 2n 1 n n O x
又 sup If,(x)-0 =αn, 因此{f,(x)在[0, 1]上一致xe[0,1]收敛于 0 的充要条件是αn→0(n→).α, 故 f" f,(x)dx → f, f(x)dx =0又因[ f,(x)dx二2nα=0.这样,当α,=1时,虽然的充要条件是limn->00 2n(f,(x))不一致收敛于f(x),但定理13.10 的结论仍成立. 但当α,= n时,(f,(x))不一致收敛于f(x)同时,(x)d=也不收敏于,(x)dx=0.2后页返回前页
前页 后页 返回 − = [0, 1] sup | ( ) 0 | n n x 又 f x { ( )} [0, 1] n , 因此 f x 在 上一致 收敛于 0 的充要条件是 0( ). n → → n 1 0 ( )d , 2 n n f x x n = 1 1 0 0 ( )d ( )d 0 n f x x f x x → = 又因 故 lim 0 2 n n n → = 1 , 的充要条件是 . 这样,当n 时 虽然 { ( )} n f x 不一致收敛于 f x( ) , 但定理 13.10 的结论仍 { ( )} n 成立. 但当 时, f x 不一致收敛于 f x( ). n n 1 0 1 ( )d 2 n 同时 f x x 1 0 也不收敛于 f x x ( )d 0. =