这就证明了lim f(x)= A.x-xo定理指出：在一致收敛的条件下，{f,(x)中关于独立变量x与 n的极限可以交换次序,即(1)式成立类似地,若 f,(x)在(a,b)上一致收敛,且 lim f,(x)x-→at存在,则有 lim lim f,(x)= lim lim f,(x);x->at n-0n-→0 x->a*若 f,(x)在(a,b)上一致收敛,且 lim f,(x)存在,则有x-blim lim f,(x) = lim lim f,(x)x-b-n-on->00x-b返回前页后页
前页 后页 返回 这就证明了 → = 0 lim ( ) . x x f x A 定理指出: 在一致收敛的条件下, { ( )} n f x 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1)式成立. , ( ) ( , ) n 类似地 若 在 f x a b lim ( ) n x a f x 上一致收敛 → + , 且 存在, 则有 → → + + → → lim lim ( ) lim lim ( ); n n = x a x a n n f x f x ( ) ( , ) lim ( ) , n n x b 若 f x a b f x 在 上一致收敛,且 − 存在 则有 → → → − − → → lim lim ( ) lim lim ( ). n n = x b x b n n f x f x
定理13.9 (连续性)若函数列(f,}在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续证 设 x,为I 上任一点.由于 lim f,(x)=f,(x),于X是由定理 13.8 知 lim f(x)也存在,且lim f(x)= lim f,(xo) = f(xo)x-→Xon>0因此f(x)在x上连续定理13.9可以逆过来用：若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数不连续，则此函数列在区间I上一定不一致收敛后页返回前页
前页 后页 返回 定理13.9 (连续性) 若函数列 { }n f 在区间 I上一致收 敛, 且每一项都连续, 则其极限函数 f 在 I 上也连续. 证 → = 0 0 0 . lim ( ) ( ), n n x x 设 为 上任一点 由于 x I f x f x 于 是由定理 13.8 知 0 lim ( ) x x f x → 也存在, 且 → → = = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ), n x x n f x f x f x 0 因此 在 上连续 f x x ( ) . 定理13.9可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数 列在区间 I 上其极限函数不连续, 则此函数列在区 间 I 上一定不一致收敛
例如：函数列(x"}的各项在(-1,1]上都是连续的,但0,-1<x<1,其极限函数f(x)=在x=1时不连1, x=1续,所以({x"在(-1,1]上不一致收敛定理13.10 (可积性)若函数列(f,)在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则(3)lim J' J.(x) dx = J'lim f,(x) dx.18n后页返回前页
前页 后页 返回 { }n 例如: 函数列 x 的各项在 ( 1, 1] − 上都是连续的, 但 其极限函数 0, 1 1, ( ) 1, 1 x f x x − = = 在 x = 1时不连 { }n 续, 所以 x 在 ( 1, 1] − 上不一致收敛. { }n 定理13.10 (可积性) 若函数列 f 在 [ , ] a b 上一致收 敛, 且每一项都连续, 则 lim ( ) d lim ( ) d . (3) b b n n n n a a f x x f x x → → =
证设f为函数列(f,}在[a,b]上的极限函数.由定理13.9知f在[a,b]上连续,从而fn (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积.于是(3)变为lim ' f,(x) dx = f' f(x) dx.(3)1因为在[a,b]上f,一致收敛于f,故对于任意ε>0,存在N,当 n> N 时, 对一切 x e[a, b],都有I f,(x)- f(x)<8.再根据定积分的性质，当n>N时有返回前页后页
前页 后页 返回 { }n 证 设 f 为函数列 f 在 [ , ] a b 上的极限函数. 由定理 [ , ] a b ( 1,2, ) n 13.9知 f 在 上连续, 从而 f n = 与 f 在 [ , ] a b 上都可积. 于是(3)变为 lim ( ) d ( ) d . (3 ) b b n n a a f x x f x x → = [ , ] , n 因为在 上 一致收敛于 a b f f 故对于任意 0 , 存在 N n N x a b , , [ , ], 当 时 对一切 都有 | ( ) ( ) | . n f x f x − 再根据定积分的性质, 当 n N 时有
[" f,(x)-I" f(x)dx=["(F.(x)-f(x) dx≤J'lf,(x)- f(x)dx ≤8(b-a),这就证明了等式(3)这个定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算的顺序可以交换前页后页返回
前页 后页 返回 − = − ( ) ( ) d ( ( ) ( )) d b b b n n a a a f x f x x f x f x x ( ) ( ) d ( ), b n a − − f x f x x b a 这就证明了等式 (3 ). 这个定理指出: 在一致收敛的条件下, 极限运算与 积分运算的顺序可以交换