《计算方法》第三章 线性方程组解法

(=2,3,…,n) 1 12 (0) A= 22 2n+1 (0) (0) 2 m+1 21/a1,×r1 (0) (0) 12 In n十 r3-a31/ au xr0 (1) (1) 2n+1 a,/axr 0 (1) (1) 2 m+1 然后对第二列也作同样的处理,即:自第二个方程 起,消去a(j=3,4,…,m)的所有元素,做 q,(l2(i=3,4,…,m)得 2 7-an/a2×[a1 (0) 2 r4-a42/a2×20 (1) 2 rn-an2/a2×X00 其第k-1步的结果为

(i = 2,3,  ,n)               = + + + (0) 1 (0) 2 1 (0) 1 1 (0) (0) 2 (0) 1 (0) 2 (0) 22 (0) 21 (0) 1 (0) 12 (0) 11 nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a A                       −  − − − − − − − → −  −  + + + (1) 1 (1) 2 1 (0) 1 1 (1) (1) 2 (1) 2 (1) 2 2 (0) 1 (0) 1 2 (0) 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 0 0 nn n n n nn n n n n a a a a a a a a a a r a a r r a a r r a a r         然后对第二列也作同样的处理，即：自第二个方程 起，消去 ( 3,4, , ) (1) a j 2 j =  n 的所有元素，做 (1) 2 22 (1) 2 r a a r i i − (i = 3,4,  ,n) 得：               −  − − − − − − − → −  −  + + + (2) 1 (1) 2 1 (0) 1 1 (2) (1) 2 (1) 2 2 (0) 1 (0) 1 2 (0) 1 1 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 0 0 0 nn n n nn n n n n a a a a a a a a a r a a r r a a r r a a r         其第 k − 1 步的结果为：

lk In In+1 (k-1) (k-1) (k-1) 第/步消元过程:以第个方程为基础,后面的 第/+1个方程,第/+2个方程,直至第n个方 程,作如下的计算: ikk (i=k+1,k+2,…,n), (0) an0anm1其中: k-1) k+1k+1 k+ln k+1n+1 (k) (k-1) i (k-1) k (k) (k-1) L.a(k-1)上述过程经过 ik kj

                − + − − − + − − + ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) (0) 1 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 1 k nn k nn k nk k k n k k n k k k k n n a a a a a a a a a a            第 k 步消元过程：以第 k 个方程为基础，后面的 第 k + 1 个方程，第 k + 2 个方程，直至第 n 个方 程，作如下的计算： r l r (i k 1,k 2, ,n) i − ik k = + +  ， 其中: ( 1) ( 1) − − = k kk k ik ik a a l , ( ) ( −1) ( −1) = − k ik kj k ij k aij a l a , 上 述 过 程 经 过                   + + + + + + + − + − − + − + ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) (0) 1 1 (0) 1 (0) 1 (0) 1 1 0 0 k nn k nn k k n k ij k k n k k n k k k k k n k k n k k k k k k k n n a a a a a a a a a a a a a a a              

n-1步之后,得 (0) (0) 11 12 In 1n+1 2 n n+ (n-1) (n- +1 上面的所有过程就是消元过程。下面的过程即为回 代过程: 由第n个方程,可以解得: nn+1 n nn 将其值代入到第n-1个方程,可以解得: (n-2) (n-2) n-1,n+1 n-1,n n n-2) (n-2).U +1 n-1,n+1 n-ln (n-1) nn 逐步回代,到第k个方程可求出x,即 (k-1 ∑qx)/a j=k+1 直至第一个方程,可以得到:

n −1 步之后，得             − + − + + ( 1) 1 ( 1) (1) 2 1 (1) 2 (1) 2 2 (0) 1 1 (0) 1 (0) 1 2 (0) 1 1 n nn n nn n n n n a a a a a a a a a      上面的所有过程就是消元过程。下面的过程即为回 代过程： 由第 n 个方程，可以解得： ( 1) ( 1) 1 − − + = n nn n nn n a a x ， 将其值代入到第 n − 1 个方程，可以解得： ( 1) , ( 1) 1 ( 2) 1, ( 2) 1, 1 ( 2) 1, ( 2) 1 1, 1 − − − + − − − + − − − − − + = −  = −  n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n a a a a x a a x 逐步回代，到第 k 个方程可求出 xk ，即： ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( )/ − = + − − = + −  k k k n j k j k k j k k k n x a a x a 直至第一个方程，可以得到：