3.1.2 KHOHZY课后强化作业 、选择题 1.若函数fx)是奇函数,且有三个零点x、x2、x,则x1+x2+x3的值为() B.0 不确定 答案]B 「解析]因为Ax)是奇函数,其图象关于原点对称,它有三个零点,即fx)的图象与x轴 有三个交点,故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数 x1+x2+x3=0. 2.已知f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且fa)fb)(0,则fx)=0在a,b内() A.至少有一实数根 B.至多有一实数根 C.没有实数根 D.有惟一实数根 答案]D 「解析]」∵(x)为单调减函数, r∈[a,b且fa)fb)<0 x)在a,b内有惟一实根x=0 3.(0天津理)设函数)=-m0>0则y=/3×) A.在区间(g)a,e内均有零点 B.在区 (1,e)内均无零点 在区间(,1)内有零点;在区间(1,e内无零点 D.在区间()内无零点,在区间(,内有零点 答案]D 解析]∴/)=3x-a(x>0), fe)=2e-1<0
3.1.2 一、选择题 1．若函数 f(x)是奇函数，且有三个零点 x1、x2、x3，则 x1＋x2＋x3 的值为( ) A．－1 B．0 C．3 D．不确定 [答案] B [解析] 因为 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即 f(x)的图象与 x 轴 有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数． ∴x1＋x2＋x3＝0. 2．已知 f(x)＝－x－x 3，x∈[a，b]，且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)＝0 在[a，b]内( ) A．至少有一实数根 B．至多有一实数根 C．没有实数根 D．有惟一实数根 [答案] D [解析] ∵f(x)为单调减函数， x∈[a，b]且 f(a)·f(b)<0， ∴f(x)在[a，b]内有惟一实根 x＝0. 3．(09·天津理)设函数 f(x)＝ 1 3 x－lnx(x＞0)则 y＝f(x)( ) A．在区间 1 e ，1 ，(1，e)内均有零点 B．在区间 1 e ，1 ， (1，e)内均无零点 C．在区间 1 e ，1 内有零点；在区间(1，e)内无零点 D．在区间 1 e ，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点 [答案] D [解析] ∵f(x)＝ 1 3 x－lnx(x＞0)， ∴f(e)＝ 1 3 e－1＜0
f1)=>0,一)=+1>0, 在(1,c有零点,在(,1内无零点,故选D 4.(2010天津文,4)函数fx)=e+x-2的零点所在的一个区间是() D.(1,2) 答案]C 解析]∵f0)=-1<0,f1)=e-1>0 即f0)/(1)<0, 由零点定理知,该函数零点在区间(0,1)内 5.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0,+∞)内,则m的取值范围是( C.m>1 答案]B 解析]设方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x,x,则有△=(m-3)-4m≥0,且x +x2=3-m>0,x1x2=m>0,解得0<m≤1 函数f(x) (x-1)x2的零点有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案]A (x-1)ln(x-2) 解析]令x)=0得, 3 x-1=0或ln(x-2)=0,∴x=1或x=3 ∵x=1时,n(x-2)无意义, x=3时,分母为零, ∴1和3都不是(x)的零点,∴x无零点,故选A 7.函数y=V-的一个零点是()
f(1)＝ 1 3 ＞0，f( 1 e )＝ 1 3e ＋1＞0， ∴f(x)在(1，e)内有零点，在( 1 e ，1)内无零点．故选 D. 4．(2010·天津文，4)函数 f(x)＝e x＋x－2 的零点所在的一个区间是( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) [答案] C [解析] ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0， 即 f(0)f(1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内． 5．若方程 x 2－3x＋mx＋m＝0 的两根均在(0，＋∞)内，则 m 的取值范围是( ) A．m≤1 B．0<m≤1 C．m>1 D．0<m<1 [答案] B [解析] 设方程 x 2＋(m－3)x＋m＝0 的两根为 x1，x2，则有 Δ＝(m－3)2－4m≥0，且 x1 ＋x2＝3－m>0，x1·x2＝m>0，解得 0<m≤1. 6．函数 f(x)＝ (x－1)ln(x－2) x－3 的零点有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 [答案] A [解析] 令 f(x)＝0 得， (x－1)ln(x－2) x－3 ＝0， ∴x－1＝0 或 ln(x－2)＝0，∴x＝1 或 x＝3， ∵x＝1 时，ln(x－2)无意义， x＝3 时，分母为零， ∴1 和 3 都不是 f(x)的零点，∴f(x)无零点，故选 A. 7．函数 y＝ 3 x－ 1 x 2的一个零点是( ) A．－1 B．1
答案]B 点评]要准确掌握概念,“零点”是一个数,不是一个点 8.函数fx)=ax2+bx+c,若f1)>0,f2)<(0,则fx)在(12)上零点的个数为() A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 答案]C 「解析]若a=0,则b≠0,此时fx)=bx+c为单调函数, f1)>0,f2)0,∴x)在(1,2)上有且仅有一个零点; 若a≠0,则x)为开口向上或向下的抛物线,若在(,2)上有两个零点或无零点,则必有 f1)f(2)>0 f(1)>0,f2)<0,∴在(1,2)上有且仅有一个零点,故选C 9.(哈师大附中2009~2010高一期末)函数(x)=2-logx的零点所在的区间为() B 答案]B 解析:A)=2-2220,月=5-10,A在x0时连续,选B 0.根据表格中的数据,可以判定方程e-x-2=0的一个根所在的区间为() 0.3712.727.3920.09 A.(-1,0) B.(0,1) D.(2,3) 答案]C 解析]令∫x)=e-x-2,则∫(1)f2)=(e-3)e2-4)0,故选C. 填空题 l1.方程2=x3精确到0.1的一个近似解是 答案]1.4 12.方程e-x-2=0在实数范围内的解有 答案]2 三、解答题
C．(－1,0) D．(1,0) [答案] B [点评] 要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点． 8．函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 f(1)>0，f(2)<0，则 f(x)在(1,2)上零点的个数为( ) A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 [答案] C [解析] 若 a＝0，则 b≠0，此时 f(x)＝bx＋c 为单调函数， ∵f(1)>0，f(2)<0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点； 若 a≠0，则 f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有 f(1)·f(2)>0， ∵f(1)>0，f(2)<0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选 C. 9．(哈师大附中 2009～2010 高一期末)函数 f(x)＝2 x－log1 2 x 的零点所在的区间为( ) A. 0， 1 4 B. 1 4 ， 1 2 C. 1 2 ，1 D．(1,2) [答案] B [解析] ∵f 1 4 ＝2 1 4 －log1 2 1 4 ＝ 4 2－2<0，f 1 2 ＝ 2－1>0，f(x)在 x>0 时连续，∴选 B. 10．根据表格中的数据，可以判定方程 e x－x－2＝0 的一个根所在的区间为( ) x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) [答案] C [解析] 令 f(x)＝e x－x－2，则 f(1)·f(2)＝(e－3)(e 2－4)<0，故选 C. 二、填空题 11．方程 2 x＝x 3 精确到 0.1 的一个近似解是________． [答案] 1.4 12．方程 e x－x－2＝0 在实数范围内的解有________个． [答案] 2 三、解答题
13.借助计算器或计算机,用二分法求方程2x-x2=0在区间(-1,0)内的实数解(精确到 0.01) 解析]令几x)=2-x2,∵-1)=21-(-12=-0,f0)=1>0, 说明方程(x)=0在区间(-1,0内有一个零点 取区间(1,0的中点x=-0.5,用计算器可算得f-0.5)≈0.460因为f(-1)f 0.5)<0,所以x∈(-1,-0.5) 再取(-1,-0.5)的中点x=-075用计算器可算得(-0.75)≈-0.03>0因为f(-1)f- 0.75)<0,所以x∈(-1,-0.75) 同理,可得x0∈(-0875,-0.75),x0∈(-08125,-0.75),x∈(-0.78125,-0.75), x∈(-0.78125,-0.765625),x∈(-0.7734375,-0.765625) 由于(-0.765625)-(07734375)-0.01,此时区间-0.7734375,-0.765625)的两个 端点精确到0.01的近似值都是-0.77,所以方程2X-x2=0精确到001的近似解约为-0.77 14.证明方程(x-2)(x-5)=1有两个相异实根,且一个大于5,一个小于2 「解析]」令∫x)=(x-2)(x-5)-1 ∵f2)=f5)=-1<0,且f(0)=9>0 f6)=3>0 (x)在(0,2)和(56)内都有零点,又fx)为二次函数,故fx)有两个相异实根,且一个大 于5、一个小于2. 15.求函数y=x3-2x2-x+2的零点,并画出它的简图 解析]因为x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2) 2)x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1) 所以函数的零点为-1,1,2 3个零点把x轴分成4个区间 (-∞,-1],[-1,1,[l1,2],[2,+∞] 在这4个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值(取精确到0.01的 近似值表
13．借助计算器或计算机，用二分法求方程 2 x－x 2＝0 在区间(－1,0)内的实数解(精确到 0.01)． [解析] 令 f(x)＝2 x－x 2，∵f(－1)＝2－1－(－1)2＝－ 1 2 <0，f(0)＝1>0， 说明方程 f(x)＝0 在区间(－1,0)内有一个零点． 取区间(－1,0)的中点 x1＝－0.5，用计算器可算得 f(－0.5)≈0.46>0.因为 f(－1)·f(－ 0.5)<0，所以 x0∈(－1，－0.5)． 再取(－1，－0.5)的中点x2＝－0.75，用计算器可算得f(－0.75)≈－0.03>0.因为f(－1)·f(－ 0.75)<0，所以 x0∈(－1，－0.75)． 同理，可得 x0∈(－0.875，－0.75)，x0∈(－0.812 5，－0.75)，x0∈(－0.781 25，－0.75)， x0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)． 由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此时区间(－0.773 437 5，－0.765 625)的两个 端点精确到 0.01 的近似值都是－0.77，所以方程 2 x－x 2＝0 精确到 0.01 的近似解约为－0.77. 14．证明方程(x－2)(x－5)＝1 有两个相异实根，且一个大于 5，一个小于 2. [解析] 令 f(x)＝(x－2)(x－5)－1 ∵f(2)＝f(5)＝－1＜0，且 f(0)＝9＞0. f(6)＝3＞0. ∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又 f(x)为二次函数，故 f(x)有两个相异实根，且一个大 于 5、一个小于 2. 15．求函数 y＝x 3－2x 2－x＋2 的零点，并画出它的简图． [解析] 因为 x 3－2x 2－x＋2＝x 2 (x－2)－(x－2) ＝(x－2)(x 2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)， 所以函数的零点为－1,1,2. 3 个零点把 x 轴分成 4 个区间： (－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]． 在这 4 个区间内，取 x 的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到 0.01 的 近似值)表：
500.51 1.5 22.5 4.38 0 18821.13|0 0.630263 在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示. 16.借助计算器或计算机用二分法求方程(x+1)x-2)(x-3)=1在区间(1,0)内的近似 解.(精确到0.1) 「解析]原方程为x3-4x2+x+5=0令∫x)=x3-4x2+x+5:f-1)=-1f0)=5 1)f(0)<0,∴函数x)在(-1,0内有零点x 取(-1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算,列表如下 端点或中点横坐标 端点或中点的函数值 定区间 1,b0=0 f-1)=-1,f(0)=5 -1,0 1+0 =-0.5 2 fx0)=3.375>0 -1,-0.5 1+(-0.5) x1 0.75 fx)≈1.578>0 -1,-0.75 1+(=075) 0.875 fx2)≈0.393>0 -1,-0.875 1-0.875 x3=-2 -0.9375 fx)≈-0.277<0 -0.9375,-0.875 ∴-0.875-(-0.9375)=0.0625<0.1, 原方程在(-1,0内精确到0.1的近似解为-0.9 17.若函数f(x)=log(ax2-x+a)有零点,求a的取值范围 「解析]」∵(x)=log(ax2-x+a)有零点
x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 … y … －4.38 0 1.88 2 1.13 0 －0.63 0 2.63 … 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示． 16．借助计算器或计算机用二分法求方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1 在区间(－1,0)内的近似 解．(精确到 0.1) [解析] 原方程为 x 3－4x 2＋x＋5＝0，令 f(x)＝x 3－4x 2＋x＋5.∵f(－1)＝－1，f(0)＝5，f(－ 1)·f(0)＜0，∴函数 f(x)在(－1,0)内有零点 x0. 取(－1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下 端点或中点横坐标 端点或中点的函数值 定区间 a0＝－1，b0＝0 f(－1)＝－1，f(0)＝5 [－1,0] x0＝ －1＋0 2 ＝－0.5 f(x0)＝3.375＞0 [－1，－0.5] x1＝ －1＋(－0.5) 2 ＝－0.75 f(x1)≈1.578＞0 [－1，－0.75] x2＝ －1＋(－0.75) 2 ＝－0.875 f(x2)≈0.393＞0 [－1，－0.875] x3＝ －1－0.875 2 ＝－0.9375 f(x3)≈－0.277＜0 [－0.9375，－0.875] ∵|－0.875－(－0.9375)|＝0.0625＜0.1， ∴原方程在(－1,0)内精确到 0.1 的近似解为－0.9. 17．若函数 f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，求 a 的取值范围． [解析] ∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点