第二章末 JSGG即时巩固 、选择题 1.如果m>n对于一切x>0都成立,则正数m、n的大小关系为() m>n D.无法确定 答案]A 「解析]在同一坐标系中,作出y=m与y=丌的图象,可见有mn1或1>m>n 或m1>m>0.故选A y=m y=m y=n 2.(2010全国1理,8)设a=g2,b=hn2,c=5-2,则) A. a<<c b. b<cca C. c<a<b D. c<<a 答案] 解析]a=log2 b=In2 而log23>loge>1,所以 c=5=-1,而52=g4g3,F以c,综上cb 3.函数y=a-(b+1)(a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限,则必有() 0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0 D.a>1,b>0 答案]D 解析]由题意及图象可知a>1,x=0时,y=-b<0即b>0 4.a3>a2,则a的取值范围是(
第二章末 一、选择题 1．如果 m x >n x 对于一切 x>0 都成立，则正数 m、n 的大小关系为( ) A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定 [答案] A [解析] 在同一坐标系中，作出 y＝m x与 y＝n x的图象，可见有 m>n>1 或 1>m>n>0 或 m>1>n>0.故选 A. 2．(2010·全国Ⅰ理，8)设 a＝log32，b＝ln2，c＝5－ 1 2 ，则( ) A．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a [答案] C [解析] a＝log32＝ 1 log23 ，b＝ln2＝ 1 log2e ，而 log23>log2e>1，所以 a<b， c＝5－ 1 2＝ 1 5 ，而 5>2＝log24>log23，所以 c<a，综上 c<a<b. 3．函数 y＝a x－(b＋1) (a>0 且 a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( ) A．0<a<1，b>0 B．0<a<1，b<0 C．a>1，b<1 D．a>1，b>0 [答案] D [解析] 由题意及图象可知 a>1，x＝0 时，y＝－b<0 即 b>0. 4．a 1 3 >a 1 2，则 a 的取值范围是( ) A．(0,1) B．(1，＋∞)
0,1) [答案]A [解析]解法1:a2有意义∴a≥0又满足上述不等式 a≠0两边6次乘方得:a2>a3 r(a-1)<0∴a<1 解法2:∵y=d,当a1时为增函数,当0a<1时为减函数,又且a ∴0<a<1 函数y=log{(x2-6x+10)在区间12]上的最大值是() A.0 答案]C 解析]∵1≤x≤2时,u=x2-6x+10=(x-3)2+1为减函数且2≤v≤5,又y=log u为减函数 12 6.若a=2,b=l,c=,则) A. a<k<c B. c<kca C. c<a<b D. bca<c 答案]C 「解析]作差:a-b=(ln8-ln9)≤0, a-c=i(n32-In25)>0,, c<asb 点评:本题用数形结合法常因作图不规范造成错解 7.设偶函数fx)= logaR+b在(0,+∞)上单调递减,则fb-2)与fa+1)的大小关 系是( A.f(b-2)=f(a+1) fb-2)>fa+1) C.八(b-2)<(a+1) D.不能确定 [答案]C 「解析]由于∫x)为偶函数∴b=0 当x>0时,fx)= loga x,在(0,+∞)上递减,∴0<a<1 ∴(b-2)=f(-2)=f(2),又0<a+1<2 ∵a+1)>(2),即fa+1)>b-2),故选C 8.(09·湖南理)若loga<0 1,则(
C．(－∞，1) D．[0,1) [答案] A [解析] 解法 1：a 1 2有意义∴a≥0 又满足上述不等式 ∴a≠0 两边 6 次乘方得：a 2>a 3 ∴a 2 (a－1)<0∴a<1∴0<a<1. 解法 2：∵y＝a x，当 a>1 时为增函数，当 0<a<1 时为减函数，又1 3 < 1 2 且 a 1 3 >a 1 2 ， ∴0<a<1. 5．函数 y＝log1 3 (x 2－6x＋10)在区间[1,2]上的最大值是( ) A．0 B．log1 3 5 C．log1 3 2 D．1 [答案] C [解析] ∵1≤x≤2 时，u＝x 2－6x＋10＝(x－3)2＋1 为减函数且 2≤u≤5，又 y＝log1 3 u 为减函数， ∴ymax＝log1 3 2. 6．若 a＝ ln2 2 ，b＝ ln3 3 ，c＝ ln5 5 ，则( ) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c [答案] C [解析] 作差：a－b＝ 1 6 (ln8－ln9)<0， a－c＝ 1 10(ln32－ln25)>0，∴c<a<b. 点评：本题用数形结合法常因作图不规范造成错解． 7．设偶函数 f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上单调递减，则 f(b－2)与 f(a＋1)的大小关 系是( ) A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1) C．f(b－2)<f(a＋1) D．不能确定 [答案] C [解析] 由于 f(x)为偶函数 ∴b＝0 当 x>0 时，f(x)＝loga x，∵在(0，＋∞)上递减，∴0<a<1 ∴f(b－2)＝f(－2)＝f(2)，又 0<a＋1<2， ∴f(a＋1)>f(2)，即 f(a＋1)>f(b－2)，故选 C. 8．(09·湖南理)若 log2a<0， 1 2 b >1，则( )
B.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0 答案]D 「解析]由loga<0得0<a 由(=知b0 二、解答题 9.已知函数f(x) (1)判断函数fx)的单调性; (2)求函数的值域 (3)解方程fx)=0; (4)解不等式fx)>0 解析](1):y=(x+∴y-2,由于y=(在x∈R上单减,y=在x∈R上单 减 ∵y=()2+()2-2在R上单减 (2)y=G)+(-2=联G+()-2>-2,∴值域为b>-2 (3):(x)=0,G)+2(G-1=0 0∴ (4)∴y=G)+()2-2 ∴f(x)>0而(一)+2>2 ()-1>0G)>1 ∴x<0,即不等式fx)>0的解集为{xx<0} 10.(河南豫东三校2009~2010高一期末)已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1) (1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围 (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围 「解析](1)若f(x)=lgax2+2x+1)定义域为R,显然a≠0,必须a>0且△<0,解得 (2若fx)=lg(ax2+2x+1)值域为R i)当a=0时,符合题意 i)当a≠0时,必须a>0且Δ≥0解得0<a≤1 综上所述,0≤a≤1
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 [答案] D [解析] 由 log2a<0 得 0<a<1， 由 1 2 b >1＝ 1 2 0 知 b<0. 二、解答题 9．已知函数 f(x)＝ 1 2 x＋ 1 4 x－2. (1)判断函数 f(x)的单调性； (2)求函数的值域； (3)解方程 f(x)＝0； (4)解不等式 f(x)>0. [解析] (1)∵y＝( 1 2 ) x＋( 1 4 ) x－2，由于 y1＝( 1 2 ) x在 x∈R 上单减，y2＝( 1 4 ) x在 x∈R 上单 减 ∴y＝( 1 2 ) x＋( 1 4 ) x－2 在 R 上单减． (2)y＝( 1 2 ) x＋( 1 4 ) x－2＝[(1 2 ) x ] 2＋( 1 2 ) x－2>－2，∴值域为{y|y>－2} (3)∵f(x)＝0，∴[(1 2 ) x＋2][(1 2 ) x－1]＝0 ∴( 1 2 ) x－1＝0 ∴x＝0. (4)∵y＝( 1 2 ) x＋[(1 2 ) x ] 2－2 ＝[(1 2 ) x＋2][(1 2 ) x－1] ∵f(x)>0 而( 1 2 ) x＋2>2 ∴( 1 2 ) x－1>0 ( 1 2 ) x >1 ∴x<0，即不等式 f(x)>0 的解集为{x|x<0}． 10．(河南豫东三校 2009～2010 高一期末)已知函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)． (1)若函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围． [解析] (1)若 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)定义域为 R，显然 a≠0，必须 a>0 且 Δ<0，解得 a>1 (2)若 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)值域为 R， ⅰ)当 a＝0 时，符合题意． ⅱ)当 a≠0 时，必须 a>0 且 Δ≥0 解得 0<a≤1 综上所述，0≤a≤1
1.已知f(x)=-x+log (1)求 2005)的值 (2)当x∈(-a,a(其中a∈(O,1),且a为常数)时,∫(x)是否存在最小值,如果存在, 求出最小值:如果不存在,请说明理由 「解析」(1)由—>0得 ∴fx)的定义域为:(-1,1) 1+x (-x+logr)=-f(x) ∴(x为奇函数.∴(2003)+-2005 (2(x)在(-a,a上有最小值 设-1<x1<x 1-x11-x22(x 1+x11+x2(1+x1)(1+x) 1<x<x2<1,∴x2-x1>0,(1+x)(1+x2)>0. 1-xl 1- 1+x11+x2 函数y=—在(-1,1)上是减函数 1 从而得:fx)=-x+log-在(-1,1)上也是减函数 又a∈(-1,1), 当x∈(-a,q时,fx)有最小值 且最小值为fa)=-a+logr
11．已知 f(x)＝－x＋log2 1－x 1＋x . (1)求 f( 1 2 005)＋f(－ 1 2 005)的值； (2)当 x∈(－a，a](其中 a∈(0,1)，且 a 为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在， 求出最小值；如果不存在，请说明理由． [解析] (1)由 1－x 1＋x >0 得：－1<x<1， ∴f(x)的定义域为：(－1,1)． 又 f(－x)＝－(－x)＋log2 1＋x 1－x ＝－(－x＋log2 1－x 1＋x )＝－f(x) ∴f(x)为奇函数．∴f( 1 2 005)＋f(－ 1 2 005)＝0. (2)f(x)在(－a，a]上有最小值． 设－1<x1<x2<1， 则 1－x1 1＋x1 － 1－x2 1＋x2 ＝ 2(x2－x1) (1＋x1)(1＋x2) . ∵－1<x1<x2<1，∴x2－x1>0，(1＋x1)(1＋x2)>0. ∴ 1－x1 1＋x1 > 1－x2 1＋x2 . ∴函数 y＝ 1－x 1＋x 在(－1,1)上是减函数． 从而得：f(x)＝－x＋log2 1－x 1＋x 在(－1,1)上也是减函数． 又 a∈(－1,1)， ∴当 x∈(－a，a]时，f(x)有最小值． 且最小值为 f(a)＝－a＋log2 1－a 1＋a