2.1.2.2 KHOHZY课后强化作业 一、选择题 1.当a>1时,函数y2+1 是() 奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 答案] 解析]由a-1≠0得x≠0, 此函数定义域为( 0)U(0,+∞) +1 又∵-x)= =-fx),∴y=f(x)为奇函数 2.一批价值a万元的设备,由于使用时磨损,每年比上一年价值降低b%,则n年后 这批设备的价值为() B.a(1-nb%) 答案]D 3.函数y=3与y=()的图象() A.关于x轴对称 B.关于y轴对稀 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 答案]B ∫b(a≥b) 4.若定义运算a*b ,则函数几x)=3*32的值域是() a(a<b) A.(0,1 B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.( 答案]A 3x(x≥0) 「解析]∫x)=3*3-x=
2.1.2.2 一、选择题 1．当 a>1 时，函数 y＝ a x＋1 a x－1 是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 [答案] A [解析] 由 a x－1≠0 得 x≠0， ∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又∵f(－x)＝ a－x＋1 a－x－1 ＝ 1 a x＋1 1 a x－1 ＝ 1＋a x 1－a x ＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数． 2．一批价值 a 万元的设备，由于使用时磨损，每年比上一年价值降低 b%，则 n 年后 这批设备的价值为( ) A．na(1－b%) B．a(1－nb%) C．a[1－(b%)n ] D．a(1－b%)n [答案] D 3．函数 y＝3 x与 y＝( 1 3 ) x的图象( ) A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 y＝x 对称 [答案] B 4．若定义运算 a*b＝ b(a≥b) a(a<b) ，则函数 f(x)＝3 x *3－x的值域是( ) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞) [答案] A [解析] f(x)＝3 x *3－x＝ 3－x (x≥0) 3 x (x<0)
∵(x)∈(0,1],故选A 5.若-1<a<0,则有() C.0.24>()°>2 D.2>0.24>(7) 答案]C 解析]解法1:a0,242=分02=(,022y2,故选C 解法2:在同一坐标系中,作出函数y=2,y=()与y=02 的图象如图, 当x=a时,由图可见 6.设a、b满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是() B. ba<b C.a"<b° 答案]C 解析]解法1::0<a<1,∴y=d是减函数 又∵a<b,∴d>a·排除A 同理得b>b,排除B 在同一坐标系中作出y=a与y=b的图象 由x0时“底大图高”知x0时,y=b图象在y=d图象上方,当x=b时,立得b>a, 排除D; 当x=a时,b>a,∴选C. 解法2:取特值检验,令a=1,b=1,则=2,=1.,b=1,b=2,排除 B、D,∴选C 7.设函数几()=(x3,x>0,若几x)>1,则x的取值范围是(
∴f(x)∈(0,1]，故选 A. 5．若－1<a<0，则有( ) A．2 a >(1 2 ) a >0.2a B．( 1 2 ) a >0.2a >2a C．0.2a >(1 2 ) a >2a D．2 a >0.2a >(1 2 ) a [答案] C [解析] 解法 1：∵a<0，∴2 a <2－a＝( 1 2 ) a,0.2a＝( 1 5 ) a >(1 2 ) a，∴0.2a >(1 2 ) a >2a，故选 C. 解法 2：在同一坐标系中，作出函数 y＝2 x，y＝ 1 2 x与 y＝0.2x 的图象如图， ∵－1<a<0， 当 x＝a 时，由图可见 2 a < 1 2 a <0.2a，∴选 C. 6．设 a、b 满足 0<a<b<1，下列不等式中正确的是( ) A．a a <a b B．b a <b b C．a a <b a D．b b <a b [答案] C [解析] 解法 1：∵0<a<1，∴y＝a x是减函数， 又∵a<b，∴a a >a b .排除 A； 同理得 b a >b b，排除 B. 在同一坐标系中作出 y＝a x与 y＝b x的图象． 由 x>0 时“底大图高”知 x>0 时，y＝b x图象在 y＝a x图象上方，当 x＝b 时，立得 b b >a b， 排除 D； 当 x＝a 时，b a >a a，∴选 C. 解法 2：取特值检验，令 a＝ 1 4 ，b＝ 1 2 ，则 a a＝ 2 2 ，a b＝ 1 2 ，b a＝ 1 4 2 ，b b＝ 2 2 ，排除 A、 B、D，∴选 C. 7．设函数 f(x)＝ 若 f(x0)>1，则 x0 的取值范围是( )
B.(-1,+ C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)U(1,+∞) 答案]D [解析]当x≤0时、f(x0)=2-1>1 当x0>0时,f(x0)=x>1 x∞>1综上所述:x<-1或x0>1 8.已知x、y∈R,且2x+y>2y+3,则下列各式中正确的是() C.x-y>0D.x-y×0 答案]A 解析]作函数f(x)=2x-3x 因为2为增函数,由3-=(2)为减函数,知-3‘也是增函数,从而八x)为增函数 由2-3x2-3=2-3(可知f(x)>f(-y) 又f(x)为增函数,所以x>-y,故x+y>0.选A 、填空题 9.函数x)=d(a>0且a≠1),在x∈[2]时的最大值比最小值大,则a的值为 [答案]或 解析]注意进行分类讨论 (1)当a>1时,fx)=a为增函数,此时 f(x)max=f(2)=a, f(x)min =f(1)=a a·a= 解得 (2当0<a<1时,fx)=a为减函数,此时 f(x)max=f(1)=a, fx)min=f(2)=a- a-a2=,解得a=∈(O,1)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] D ∴x0>1.综上所述：x0<－1 或 x0>1. 8．已知 x、y∈R，且 2 x＋3 y >2－y＋3 －x，则下列各式中正确的是( ) A．x＋y>0 B．x＋y<0 C．x－y>0 D．x－y<0 [答案] A [解析] 作函数 f(x)＝2 x－3－x . 因为 2 x为增函数，由 3－x＝( 1 3 ) x为减函数，知－3－x也是增函数，从而 f(x)为增函数， 由 2 x－3－x >2－y－3 y＝2－y－3－(－y)可知 f(x)>f(－y)． 又 f(x)为增函数，所以 x>－y，故 x＋y>0.选 A. 二、填空题 9．函数 f(x)＝a x (a>0 且 a≠1)，在 x∈[1,2]时的最大值比最小值大a 2 ，则 a 的值为________． [答案] 3 2 或 1 2 [解析] 注意进行分类讨论 (1)当 a>1 时，f(x)＝a x为增函数，此时 f(x)max＝f(2)＝a 2，f(x)min＝f(1)＝a ∴a 2－a＝ a 2 ，解得 a＝ 3 2 >1. (2)当 0<a<1 时，f(x)＝a x为减函数，此时 f(x)max＝f(1)＝a，f(x)min＝f(2)＝a 2 ∴a－a 2＝ a 2 ，解得 a＝ 1 2 ∈(0,1)
综上F述:a=2或 10.不等式3x2<()-2的解集为 答案](-2,1) 解析]原不等式即3x2<32-→x2<2-x→x2+x-2<0→-2<x<1 1.1函数y=2y-的单调递减区间是 答案][1,+∞) 解析y=5 ≥1) (x<1) 因此它的减区间为[ 12.当x0时,指数函数y=(a2-3)的图象在指数函数y=(2a)的图象的上方,则a 的取值范围是 答案]a3 [解析]ia2-3>2a>l解得:a3;ia2-3>1>2a>0不等式无解;i)l>a2-3>2a>0 不等式无解;综上所述a>3 三、解答题 13.讨论函数x)=()-2的单调性,并求其值域 解析]解法1:∵函数fx)的定义域为(一∞,+∞) 设x1、x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2 ),f(x2)=(5) f(x2) (1)当x1<x≤1时,x+x<2,则有x+x1-2<0 又∵∴x2-x1>0,∴(x2-x1)(x2+x1-2)<0, 又∵对于x∈R,f(x)>0恒成立,∴(x2)>f(x1)
综上所述：a＝ 3 2 或 1 2 . 10．不等式 3x 2<(1 3 ) x－2 的解集为________． [答案] (－2,1) [解析] 原不等式即 3x 2<32－x⇒x 2<2－x⇒x 2＋x－2<0⇒－2<x<1. 11．函数 y＝( 2 3 ) |1－x|的单调递减区间是________． [答案] [1，＋∞) [解析] y＝( 2 3 ) |1－x|＝ ( 2 3 ) x－1 (x≥1) ( 2 3 ) 1－x (x<1) 因此它的减区间为[1，＋∞)． 12．当 x>0 时，指数函数 y＝(a 2－3)x 的图象在指数函数 y＝(2a) x 的图象的上方，则 a 的取值范围是________． [答案] a>3 [解析] ⅰ)a 2－3>2a>1 解得：a>3；ⅱ)a 2－3>1>2a>0 不等式无解；ⅲ)1>a 2－3>2a>0 不等式无解；综上所述 a>3. 三、解答题 13．讨论函数 f(x)＝( 1 5 ) x 2 －2x的单调性，并求其值域． [解析] 解法 1：∵函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． 设 x1、x2∈(－∞，＋∞)且有 x1<x2， (1)当 x1<x2≤1 时，x1＋x2<2，则有 x2＋x1－2<0， 又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)<0， 又∵对于 x∈R，f(x)>0 恒成立，∴f(x2)>f(x1)
∴函数fx)=()在(一∞,1上单调递增 (2)当1≤x1<x2时, x+x2>2,则有x2+x1-2>0, 又 (x-x1)(x2 0< <1,:f(x2)<f(x1) ∴函数fx)在[1,+∞)上单调递减. 综上所述,函数fx)在(一∞,1上是增函数;在区间[,+∞)上是减函数 x2-2x=(x-1)2-1≥-1,又0<<1 ∴0<()-≤(2)-1=5, 函数∫(x)的值域是(0,5] 解法2:∵函数的定义域是(-∞,+∞),令=-2,=,又:=x=2x=(x 1)2-1在(-∞,1上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,u=()在其定义域内是减函数 ∴函数几(x)在(-∞,1上为增函数,在[1,+∞)上是减函数 以下求值域方法同上 14.已知=人 a是奇函数,求a的值及函数值域 「分析]本题是函数奇偶性与指数函数的结合,利用f(-x)=-fx)恒成立,可求得a 值.其值域可借助基本函数值域求得 解析]①∵fx)是奇函数,∴f-x)=-f(x)对定义域内的每一个x都成立 ②∵22-1≠0∴x≠0∴定义域为( u=2x-1>-1且u≠0 ∴x)的值域为(-∞,-)u(,+∞)
∴函数 f(x)＝( 1 5 ) x 2 －2x在(－∞，1]上单调递增． (2)当 1≤x1<x2 时， x1＋x2>2，则有 x2＋x1－2>0， 又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)>0， ∴函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递减． 综上所述，函数 f(x)在(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数． ∵x 2－2x＝(x－1)2－1≥－1，又 0<1 5 <1， ∴0<(1 5 ) x 2 －2x≤( 1 5 ) －1＝5， ∴函数 f(x)的值域是(0,5]． 解法 2：∵函数 f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令 t＝x 2－2x，u＝( 1 5 ) t，又∵t＝x 2－2x＝(x －1)2－1 在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，u＝( 1 5 ) t 在其定义域内是减函数， ∴函数 f(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)上是减函数． 以下求值域方法同上． 14．已知 f(x)＝ 1 2 x－1 ＋a 是奇函数，求 a 的值及函数值域． [分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用 f(－x)＝－f(x)恒成立，可求得 a 值．其值域可借助基本函数值域求得． [解析] ①∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个 x 都成立． 即－[ 1 2 x－1 ＋a]＝ 1 2－x－1 ＋a， ∴2a＝－ 1 2－x－1 － 1 2 x－1 ＝1，∴a＝ 1 2 . ②∵2 x－1≠0∴x≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵u＝2 x－1>－1 且 u≠0，∴ 1 u <－1 或 1 u >0 ∴ 1 2 x－1 ＋ 1 2 <－ 1 2 或 1 2 x－1 ＋ 1 2 > 1 2 ∴f(x)的值域为(－∞，－ 1 2 )∪( 1 2 ，＋∞)．