证明存在不全为零的数k,k2,…k,k1,使得 k,a+k,a ka,+k,+B=6 证k1≠0。否则若k=0,与条件a12a2,…,C,线性无关矛盾。如此有 再证表示式唯一。设有两个表示式 B=P2a1+P2a2+…+P,a,B=qa1+q2a2+…+q,a 由a1,a2,…a,线性无关,可得p1=q1,p2=q2,…,p,=q, 下面可以看到用矩阵初等变换来判别向量组的线性相关性及向量的表示显得更方便 定理3若向量组(I)a,a2…,a,中有部分向量线性相关,则(I)一定线性相关。 该定理等价说法:若向量组a1,a2,…a线性无关,则其任何一部分向量都线性无关。如在 三维空间中,三个坐标向量线性无关(非共面),则其中任何二个向量也线性无关(非共线)。 向量组的线性相关性也可以用齐次线性方程组是否有非零解来判别 判别n维向量组(1)a1,a2…a是否线性相关,即看线性组合 x1C1+xC2+…+x 的系数x1x2,…x,是否全为零。事实上,上式是一个关于未知数x1,x2…x,的齐次线性 方程组。记
48 证明 存在不全为零的数 1 2 1 , , , , s s+ k k k k ，使得 k11 + k22 ++ kss + ks+1 = ， 证 ks+1 0 。否则若 ks+1 = 0 ，与条件 s , , , 1 2 线性无关矛盾。如此有 s s s s s k k k k k k ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 1 + + + = − + − ++ − 再证表示式唯一。设有两个表示式： = p11 + p2 2 ++ ps s ， = q11 + q2 2 ++ qs s ， 由 s , , , 1 2 线性无关，可得 p = q p = q ps = qs , , , 1 1 2 2 ， ■ 下面可以看到用矩阵初等变换来判别向量组的线性相关性及向量的表示显得更方便。 定理 3 若向量组（I） s , , , 1 2 中有部分向量线性相关，则（I）一定线性相关。 该定理等价说法：若向量组 s , , , 1 2 线性无关，则其任何一部分向量都线性无关。如在 三维空间中，三个坐标向量线性无关（非共面），则其中任何二个向量也线性无关（非共线）。 向量组的线性相关性也可以用齐次线性方程组是否有非零解来判别。 判别 n 维向量组（I） s , , , 1 2 是否线性相关，即看线性组合 x11 + x22 ++ xss = 的系数 s x , x , , x 1 2 是否全为零。事实上，上式是一个关于未知数 s x , x , , x 1 2 的齐次线性 方程组。记 j s a a a nj j j j , 1, , 2 1 = =
则上式等价于 a1x1+a12 a21x1+a2 0 an,x,+a,x,+…+ax.=0 方程组称为n×s的齐次线性方程组。其矩阵形式Ax=θ,其中系数矩阵 A ni a 强调,矩阵A(或齐次线性方程组)与向量组a1a2a,的对应关系是 A=(ax1a2…a,)。有了这种对应,判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线 性方程组是否有非零解得到:这便是下列的定理 定理4n维向量组a12a2,…,a,线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解 下面是方程组有非零解的一个充分条件。 定理3.5若n<S,则齐次线性方程组必有非零解 证明在方程组最后添加n-s个方程,得等价的方程组 a21x1+a2x2 xx2=0 anx1+an2x2+…+anx2=0 0 0·x,+…+0·x。=0 0 显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理1.6,方程组有非零解 例9判别向量组的线性相关性
49 则上式等价于 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n ns s s s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x , （1） 方程组称为 n s 的齐次线性方程组。其矩阵形式 A x = ， 其中 系数矩阵 = n n ns s s a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ，x = s x x x 2 1 ， 强调，矩阵 A （或齐次线性方程组）与向量组 s , , , 1 2 的对应关系是 ( ) A = 1 2 s 。有了这种对应，判别一个向量组是否线性相关可通过判别齐次线 性方程组是否有非零解得到：这便是下列的定理。 定理 4 n 维向量组 s , , , 1 2 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解。 下面是方程组有非零解的一个充分条件。 定理 3.5 若 n s ，则齐次线性方程组必有非零解。 证明 在方程组最后添加 n − s 个方程，得等价的方程组 + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s n n ns s s s s s x x x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x , 显然这一方程组的系数行列式等于零。由定理 1.6，方程组有非零解。 ■ 例 9 判别向量组的线性相关性
2x1+x,-2x3=0 解对应的方程组: +5x2=0 有一组非零解{x2=4。线性相关。 方程组的非零解有无穷多组:对任何x3(称之为方程组的自由变量,也可以选x1或x 作为自由变量。在第五章中我们会看到,方程组的自由变量个数是一定数)的一个值,都可 以得到方程组的一组非零解。 把定理应用到线性相关性上去,便是下列的推论 推论5设n维向量组(D):a12a2,…a,若n<s,则向量组(I)线性相关 推论说得是:向量组中的向量个数超过向量维数时,该向量组一定线性相关。见上例 下面考察向量组在添加(或减少)一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设n维 向量组(1):a1a2…a,其分量形式见前述。现在每个向量a1上添加一个分量,构成n+1 维的向量组(I)a1,a2…a 月+1)j 向量组(Ⅲ)a2a2…,a,的线性相关性取决于(n+1)×S齐次线性方程组是否有非零解, a1x1+a12x2+…+a1x3=0 (2) anx,+an,x2+.+ansx,=0 7(n+x1+a(n+n2x2+…+a(mnx2=0 如此向量组(I)与向量组(I1)的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别
50 − = − = = 5 2 , 1 1 , 1 2 1 2 3 解 对应的方程组： − + = + − = 5 0 2 2 0 1 2 3 1 2 3 x x x x x x 有一组非零解 = = = − 1 4 1 3 2 1 x x x 。 线性相关。 方程组的非零解有无穷多组；对任何 3 x （称之为方程组的自由变量，也可以选 1 x 或 2 x 作为自由变量。在第五章中我们会看到，方程组的自由变量个数是一定数）的一个值，都可 以得到方程组的一组非零解。 把定理应用到线性相关性上去，便是下列的推论。 推论 5 设 n 维向量组（I）： s , , , 1 2 ， 若 n s ，则向量组（I）线性相关。 推论说得是：向量组中的向量个数超过向量维数时，该向量组一定线性相关。见上例。 下面考察向量组在添加（或减少）一个分量后组成的向量组之间的线性相关性。设 n 维 向量组（I）： s , , , 1 2 ，其分量形式见前述。现在每个向量 j 上添加一个分量，构成 n +1 维的向量组（II） s , , , 1 2 ， j s a a a n j nj j j , 1, , ( 1) 1 = = + 。 向量组（II） s , , , 1 2 的线性相关性取决于 (n +1) s 齐次线性方程组是否有非零解， + + + = + + + = + + + = + + + 0 0 0 ( 1)1 1 ( 1)2 2 ( 1) 1 1 2 2 11 1 12 2 1 n n n s s n n ns s s s a x a x a x a x a x a x a x a x a x . （2） 如此向量组（I）与向量组（II）的线性相关性可以通过对应方程组的解之间的关系来判别