4.2接善拉斯变换性质信号与系统电子教紫例3:[cos 2te(t)］ ?例2:[cos 2t]？例4::[e-αtc(t)]_sSS+0例5:微分方程i"(t)+ 5i(t)+ 6i(t) = 3e-tε(t),初始条件i(0 ）= 0,i(0）= 1,求i(t).解 设i（t）I（s)，方程两边取拉氏变换s?I(s) - si(0) - i(0_) + 5[sI(s) - i(0_)] + 6I(s) = %s+1)(s? + 5s + 6)I(s) = ($+4)s+1)I(s) = (s+4)/4)s+1)($+2) (s+3) = 1.%+1 - %+2 + 0.%+s+3取拉氏反变换i(t)=1. 5e-t - 2e-2t + 0. 5e-3t,t ≥ 0第5-21页K
信号与系统 第5-21页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 d 例 dt 2： [cos 2 ] ? t d 例 dt 3： [cos 2 ( )] ? t t d 例 dt 4： [ ( )] t s s e t − + " ' ' 例5： 微分方程i ( ) 5 ( ) 6 ( ) 3 ( ), 初始条件 (0 ) 0, (0 ) 1,求 ( ). t t i t i t e t i i i t − − − + + = = = 解 设i(t) I(s), 方程两边取拉氏变换 2 ' 3 ( 1) 2 ( 4) ( 1) ( 4) 1.5 2 0.5 ( 1)( 2)( 3) 1 2 3 -t 2 3 ( ) (0) (0 ) 5[ ( ) (0 )] 6 ( ) ( 5 6) ( ) ( ) 取拉氏反变换 i(t)=1.5e 2 0.5 , 0 s s s s s s s s s s t t s I s si i sI s i I s s s I s I s e e t − − + + + + + + + + + + − − − − + − + = + + = = = − + − +
4.2拉善拉斯变换性质信号与系统电子教紫六、时域积分特性（积分定理）若 f(t）<F(s)（单边拉氏变换)，Re[s]>，则(1) f(-1)(t)={t f()dt F(s) + 1 f(-1)(0_)SSF(s)(2) f(-1)(t)={ f(t)dt S结论要求f(-1)(t)的单边拉氏变换的收敛域Re[s]>0.证:" f(t)dt J。[" f(t)dtle-stdt = J。["f(t)dtlde-st三8→ e-st f(t)dt 0~ - J f(t)e'dt二F(s)f(t)dtf(-1)(t)的收敛域Re[s]>0或f(t)波形净面积S为零时，结论（1）成立；积分下限为0时，结论（2）成立。第5-22质K
信号与系统 第5-22页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 六、时域积分特性（积分定理） - 0 t (-1) (-1) 1 s - - t (-1) F(s) s 0 F(s) s 若 f(t) F(s)(单边拉氏变换)，Re[s]> ，则 (1) f (t)= f( )d + f (0 ) (2) f (t)= f( )d 结论要求 ( 1) f t( )的单边拉氏变换的收敛域Re[s]>0. − 1 0 0 证： ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] t t t st st s f d f d e dt f d de − − − − − − − − = − − − − − − − − − − = = − = = + 1 1 0 0 ( ) 1 ( 1) - ( ) ( ) 0 ( ) ( )的收敛域Re[s]>0或 ( )波形净面积 为零时，结论（1）成立；积分下限为0 时，结论（2）成立。 t st st s s F s s s t e f d f t e dt t f t dt f t f t
4.2拉善拉斯变换性质信号与系统电子教紫例1:f'(t)f"(t)f(t)2/T(2/ t)2/ t0X0t+t0tt/2((- 4/ t)TTS2V+ e-ts)212eT2TS2T2eT第5-23页K福
信号与系统 第5-23页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 f(t) 1 0 2 t t 2 − 2 0 f (t) 0 f (t) ( ) 2 ( ) 2 ( ) − 4 t − − − − + = − s 2 s s 2 2 2 (1 2 ) 2 (1 ) e e e − − s 2 2 2 2 (1 ) s e 例1：
4.2接善斯变换性质信号与系统电子教紫例2：教材P159例4.29应用时域积分性质计算f(t)的单边拉氏变换：F, (s)方法一：f(t)(因果、非因果）<>5F(s)为［f(t)s(t)的单边拉氏变换;E,(s)f(o_)方法二：f(t)(非因果))+SAsF(s)为f(n)(t)的单边拉氏变换。第5-24页
信号与系统 第5-24页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 例2：教材P159例4.2—9 应用时域积分性质计算f(t)的单边拉氏变换： n n F ( ) n dt 方法一：f(t)(因果、非因果) , F ( )为 [ ( ) ( )]的单边拉氏变换； n n s s d s f t t ( ) (0 ) ( ) n 方法二： ( )(非因果) F( )为 ( )的单边拉氏变换。 n n F s f s s n f t s f t + −
4.2核普接斯变换健质信号与系统电子教紫七、卷积定理时域卷积定理若因果函数 f(t)←→Fi(s),Re[s]>o1 f2(t) ←→ F2(s) , Re[s]>02则 f,(t)*f2(t) ←→ F(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理C+Jafi(t)fz(t) <←F(n)F(s-n)dn2元10-例2：LTI系统零状态响应例l：单边周期信号f,(t)c(t)时域：y (t) = h(t) * f(t)= f(t) * ,(t)e(t)1S 域: Y(s) = H(s)F(s)F(s)ff(t)e(t) <1-e-sT8001例3：已知F(s)=8(t)*8(t-2n) = e(t-2n)s(1-en=0n=0第5-25页
信号与系统 第5-25页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 七、卷积定理 时域卷积定理 若因果函数 f 1 (t) ←→ F1 (s) , Re[s]>1 , f 2 (t) ←→ F2 (s) , Re[s]>2 则 f 1 (t)*f2 (t) ←→ F1 (s)F2 (s) 复频域（s域）卷积定理 + − → − c j c j f t f t F F s ( ) ( )d 2 j 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 3 F(s) ? (1 e )s s − = → − 例 ：已知 = = − = − 0 0 ( ) * ( 2 ) ( 2 ) n n t t n t n − − = 1 T T 1 ( ) T 1 例1：单边周期信号f ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) f ( ) ( ) s T F s e t t f t t t t t f f 例2： 系统零状态响应 时域：y ( ) ( ) * ( ) S 域： Y ( ) ( ) ( ) LTI t h t f t s H s F s = =