4.2核普孩斯变换健质信号与系统电子教紫八、s域微分和积分若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>oo, 则dF(s)d" F(s)(-t)f(t) <←-(-t)" f(t)<←→dsndsf)←→" F(n)dn例1: t2e-2tg(t) ←→?e-2tg(t) <←→ 1/(s+2)22t2e-2tg(t) ←→)(s + 2)3dsS+2第5-26页
信号与系统 第5-26页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 八、s域微分和积分 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0 , 则 s F s t f t d d ( ) (− ) ( ) → n n n s F s t f t d d ( ) (− ) ( ) → 例1：t 2e -2t(t) ←→ ? e -2t(t) ←→ 1/(s+2) t 2e -2t(t) ←→ 2 3 2 ( 2) 2 ) 2 1 ( d d + = s s + s → s F d t f t () ( )
4.2接善拉斯变换性质信号与系统电子教紫例2:sin t>?(t)t1sin te(t)s2 +1sin t元arctan s = arctanarctan2ts例3:1 -e-21t1s+2S-2111s1S+28InSSs1 + 2tJ5s1s1 + 2s第5-27页K5
信号与系统 第5-27页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 例2： ( ) ? sin t → t t 1 1 sin ( ) 2 + → s t t s t s t t s s 1 arctan arctan 2 d arctan 1 1 ( ) sin 2 = = − = + − 例3： ? 1 e 2 −− − − t t 2 1 1 1 e 2 + − → − − s s t s s s s s t s s e s s t 2 ln 1 2 1 )d 1 ln 1 2 1 1 1 ( 1 2 + = + = + −− − − −
4.2核普将斯费换性质信号与系统电子教紫九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(oo）而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式若F(Ss)为假分式化为真分式），则f(O+) = lim f(t) = lim sF(s)t0+518终值定理若f(t)当t →oo时存在，并且 f(t) ←一→ F(s),Re[s)>oo0<0，则f(co) = lim sF(s)5-0第5-28页
信号与系统 第5-28页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞）， 而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式， 若F(s)为假分式化为真分式）， 则 (0 ) lim ( ) lim ( ) 0 f f t sF s t→ + s→ + = = 终值定理 若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0 , 0<0，则 ( ) lim ( ) 0 f sF s s→ =
4.2核普接变换催质信号与系统电子教紫2s例1: F(s)= -? +2s+22s2=2f(O+) = lim sF(s) = lim$-0 g2 +2s +2S>0252=0f(o) = lim sF(s) = lim$=0 2 +2s+ 25-0例2:F(s)=? + 2s +22s +2F(s)= 1$? +2s+2-2s2s-2f(O+) = lim sF(s) = lim2s2+2s+25→00500第5-29页K
信号与系统 第5-29页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 例1： 2 2 2 ( ) 2 + + = s s s F s 2 2 2 2 (0 ) lim ( ) lim 2 2 = + + + = = → → s s s f sF s s s 0 2 2 2 ( ) lim ( ) lim 2 2 0 0 = + + = = → → s s s f sF s s s 例2： 2 2 ( ) 2 2 + + = s s s F s 2 2 2 2 2 (0 ) lim ( ) lim 2 2 = − + + − − + = = → → s s s s f sF s s s 2 2 2 2 ( ) 1 2 + + + = − s s s F s
4.2接善斯变换性质信号与系统电子教初值定理证明：(1)时域微分性质：f(t）sF(s）－f(O）按定义： L[f(t)]={~ f'(t)e-stdt = (°+0= [f(o) - f(o_) - s[℃ f(t)e-stdt] +0(2)= f(+) - f(o_) + (~ f'(t)e-stdt由（1）=（2）得：SF(s)=f(0+)+(f(t)e-stdt(3)令 s → o: lim sF(s) = f(O)>8终值定理证明：对（3）令s → 0:lim sF(s)= f(0)+（f(t)dts→0= f(0)+f()-f(0)=f()第5-30页K
信号与系统 第5-30页 ■ 电子教案 4.2 拉普拉斯变换性质 初值定理证明： - ’ 0 ' ' 0 0 0 时域微分性质：f( ) ( ) (0 ) (1) 按定义：L[f(t)]= ( ) st t sF s f f t e dt + − + − − − = + 0 0 0 ' 0 [ (0 ) (0 ) ( ) ] (0 ) (0 ) ( ) (2) st st f f s f t e dt f f f t e dt + − + + − + − − + − = − − + = − + + ' + 0 s 由（1）=（2）得：SF(s)=f(0 )+ ( ) （3） 令 s : lim ( ) (0 ) st f t e dt sF S f − → = → + ' s 0 0 终值定理证明： 对（3）令s 0:lim ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) sF s f f t dt f f f f + → + + + → = + = + − =